知识点：3.集合的基本运算

D

知识点：2.复数的几何意义

D

知识点：2.平面向量的线性运算

A

知识点：3.等差数列的前n项和

B

知识点：10.正态分布

A

知识点：10.空间角与距离

D

知识点：6.三角函数的图像与性质

C

知识点：1.合情推理与演绎推理

B

知识点：3.二项式定理

10

知识点：3.几何概型

知识点：1.算法与程序框图

9

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

知识点：5.曲线与方程

知识点：1.几何证明选讲

1

知识点：2.坐标系与参数方程

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

解：（1）因为，

所以．…………………………………………………………2分

因为，

所以．…………………………………………………………4分

因为，

所以

………………………………6分

．…………………………………………………………8分

（2）在△中，由正弦定理，得，………………………………10分

所以．……………………………………………………12

知识点：13.概率

解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．

设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．

所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………………………………………4分

（2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为个、个、个、个、9个．…………………………………………………………6分

所以“居民素质”得分的分布列为：

……………………………………8分

因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，

所以．…………………………………10分

即．

因为社区总数为个，所以．

解得，．…………………………………………………………………………………12分

知识点：10.空间角与距离

（1）证明：根据题意，在中，，，

所以，所以.………………………………………………………2分

因为是正方形的对角线，

所以．………………………………………………………………………………………3分

因为，

所以.………………………………………………………………………………4分

（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，…………………………………………………………5分

则有，，，．

设，则，．………………………………6分

又设面的法向量为，

则即

所以，令，则．

所以．………………………8分

因为平面的一个法向量为，

且二面角的大小为，………………………………………………………………9分

所以，得．

因为，所以．

解得．所以．…………Ks5u……………………10分

设平面的法向量为，因为，

则，即

令，则．

所以．…………………………………………………………………………………12分

设二面角的平面角为，

所以．……………………………………………13分

所以．

所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分

解法2：折叠后在△中，，

在△中，．……………………………5分

所以是二面角的平面角，

即．………………………………………6分

在△中，，

所以．………………………………………………………………………………………7分

如图，过点作的垂线交延长线于点，

因为，，且，

所以平面．……………………………………Ks5u……………………8分

因为平面，所以．

又，且，所以平面．……………………………………9分

过点作作，垂足为，连接，

因为，，所以平面．…………………………………10分

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．……………………………………………………11分

在△中，，，则，，

所以．………………………………………………………12分

在△中，，所以………………………………………13分

在△中，．

所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分

知识点：1.椭圆

（1）由题设知，，

由，得．……………………………………3分

解得．

所以椭圆的方程为．…………………………………………………………4分

（2）方法1：设圆的圆心为，

则………………………………………………………………6分

……Ks5u……………………………………………7分

．………………………………………………………………8分

从而求的最大值转化为求的最大值．………………………………………………9分

因为是椭圆上的任意一点，设，…………………………………………………10分

所以，即．…………………………………………………………11分

因为点，所以．……………………………12分

因为，所以当时，取得最大值12．……………………………13分

所以的最大值为11．………………………………………………………………………14分

方法2：设点，

因为的中点坐标为，所以………………………………………………6分

所以……………………………………………7分

．…………………………………………………9分

因为点在圆上，所以，即．………………………10分

因为点在椭圆上，所以，即．…………………………………11分

所以．……………………………………………12分

因为，所以当时，．………………………………14分

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………………6分

由，解得．………………………………………………………7分

因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．…………………………………………………………8分

所以，

……………………………………………………9分

所以．

……………………………………………………10分

因为，所以当时，取得最大值11．…………………………11分

②若直线的斜率不存在，此时的方程为，

由，解得或．

不妨设，，．…………………………………Ks5u…………………12分

因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．

所以，．

所以．

因为，所以当时，取得最大值11．…………………………13分

综上可知，的最大值为11．………………………………………………………………14分

知识点：4.等比数列及其性质

（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，

则有． ①……………………………………1分

由，，且，得，．

所以，，，………………2分

所以，

解得或．…………………………………………………………………………………3分

当时，，，且，

有．………………………………………………4分

当时，，，且，

有．…………………………………………5分

所以存在实数，使数列为等比数列．

当时，数列为首项是、公比是的等比数列；

当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分

方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，

设，……………………………………………………………………………………1分

即，……………………………Ks5u………………………2分

即．………………………………………………………………………3分

与已知比较，令………………………………………………………4分

解得或．…………………………………………………………………………………5分

所以存在实数，使数列为等比数列．

当时，数列为首项是、公比是的等比数列；

当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分

（2）解法1：由（1）知，……………………………………7分

当为偶数时，…………………………8分

…………………………………………………………9分

．…………………………………………………10分

当为奇数时，………………………………11分

…………………………………………………………12分

．……………………………………………13分

故数列的前项和………………………………………14分

注：若将上述和式合并，即得．

解法2：由（1）知，…………………………………………………7分

所以，……………………………………………………8分

当时，

．

因为也适合上式，……………………………………………………………………………10分

所以．

所以．…………………………………………………………………………11分

则，………………12分

……………………………………………………………13分

．……………………Ks5u………………………14分

解法3：由（1）可知，…………………………………………………7分

所以．…………………………………………………………………………8分

则，……9分

当为偶数时，………………………………………10分

．……………………………………………11分

当为奇数时，………………………………12分

．………………………………………13分

故数列的前项和………………………………………14分

注：若将上述和式合并，即得．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

（1）．……………1分

因为为的极值点，所以．…………………………………………………2分

即，解得．……………………………………………………………………3分

又当时，，从而的极值点成立．……………………………4分

（2）因为在区间上为增函数，

所以在区间上恒成立．…………………5分

①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故

符合题意．………………………………………………………………………………………………6分

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，

所以上恒成立．…………………………………7分

令，其对称轴为，……………………………8分

因为所以，从而上恒成立，只要即可，

因为，

解得．………………………Ks5u……………………………………9分

因为，所以．

综上所述，的取值范围为．………………………………………………………10分

（3）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．…………………………………………………………11分

以下给出两种求函数值域的方法：

方法1：因为，令，

则 ，…………………………………………………………12分

所以当，从而上为增函数，

当，从而上为减函数，…………………………………………13分

因此．

而，故，

因此当时，取得最大值0．…………………………………………………………………14分

方法2：因为，所以．

设，则．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

因为，故必有，又，

因此必存在实数使得，

，所以上单调递减；

当，所以上单调递增；

当上单调递减；

又因为，

当，则，又．

因此当时，取得最大值0. ……………………………Ks5u…………………………14分