知识点：3.集合的基本运算

A

【考点】交集及其运算．

【分析】根据一次函数的值域求出A，根据指数函数的值域求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={y|y=x+1，x∈R}=R=（﹣∞，+∞），B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0 }=（0，+∞），

故A∩B=（﹣∞，+∞）∩（0，+∞）=（0，+∞），

故选A．

知识点：1.变化率与导数

D

【考点】导数的几何意义．

【分析】已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．

【解答】解：∵y=4x﹣x3，

∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，

∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，

即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，

故选D．

知识点：3.单调性与最大（小）值

C

【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】可先设f（x）为指数函数，并给出证明，再根据指数函数单调性的要求，得出C选项符合题意．

【解答】解：指数函数满足条件“f（x+y）=f（x）f（y）”，验证如下：

设f（x）=ax，则f（x+y）=ax+y，

而f（x）f（y）=ax•ay=ax+y，

所以，f（x+y）=f（x）f（y），

再根据题意，要使f（x）单调递增，只需满足a＞1即可，

参考各选项可知，f（x）=3x，即为指数函数，又为增函数，

故选：C．

知识点：4.命题及其关系

B

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】由抽样方法可得为系统抽样，可判断①；由由特称命题的否定为全称命题，可判断②；注意对数函数的定义域，结合充分必要条件的定义，可判断③；求出逆命题，即可判断④．

【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，

这样的抽样是均衡的抽取，为系统抽样，故①错；

②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，由特称命题的否定为全称命题，可知②正确；

③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件，首先必须x＞﹣1，则③错误；

④“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”，则④正确．

则正确的个数为2，

故选：B．

知识点：4.直线与圆的位置关系

D

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】直线过定点（0，1），截得的弦最短，圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程．

【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，

必须圆心（1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直；

连线的斜率﹣1，弦的所在直线斜率是1．

则直线l的方程是：y﹣1=x

故选D．

知识点：2.等差数列及其性质

C

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】设等比数列{an}的公比为q，结合题意可得2×（a3）=a1+2a2，化简可得q2﹣2q﹣1=0，解可得q的值，又由=q2，计算q2的值即可得答案．

【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

又由成等差数列，则有2×（a3）=a1+2a2；

即2（a1q2）=a1+2a1×q，

变形可得：q2﹣2q﹣1=0

解可得q=1+或q=1﹣（舍），

则=q2=（1+）2=3+2；

故选：C．

知识点：8.空间向量及其运算

A

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】根据向量加法的多边形法则可得， ====，从而可求α，β．

【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得， ====，

∴α=，β=﹣1，

故选A．

知识点：2.双曲线

A

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．

【解答】解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；

∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：

．

故选A．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

A

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体为四棱锥，结合直观图判断棱锥的高与底面四边形的形状，判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：

其中SA⊥平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，

∴四棱锥的体积V=××2×2=2（cm3）．

故选：A．

知识点：1.算法与程序框图

B

【考点】程序框图．

【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

S=0，n=1

第1次执行循环，S=log2，n=2

不满足条件S＜﹣3，第2次执行循环，S=log2+log2，n=3

不满足条件S＜﹣3，第3次执行循环，S=log2+log2+log2，n=4

…

不满足条件S＜﹣3，第n次循环：S=log2+log2+log2+…+log2=log2，n=n+1；

令log2＜﹣3，解得n＞15．

∴输出的结果是n+1=16．

故选：B．

知识点：3.几何概型

C

【考点】几何概型．

【分析】分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，

∴三角形的高AD=4，

则三角形ABC的面积S=×6×4=12，

则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，

三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，

则阴影部分的面积为S1=12﹣×π×22=12﹣2π，

则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1﹣，

故选：C．

知识点：1.椭圆

C

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=﹣、x1x2=﹣，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．

【解答】解：∵e==，∴=，

∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的两个实根，

∴由韦达定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，

∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．

故选：C．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

3

【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】由已知可得， =，代入|2|====可求

【解答】解：∵， =1

∴=

∴|2|====

解得

故答案为：3

知识点：2.用样本估计总体

2

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】运用平均数的公式：解出x的值，再代入方差的公式中计算得出方差．

【解答】解：∵样本7，5，x，3，4的平均数是5，

∴7+5+x+3+4=5×5=25；

解得x=6，

方差s2= [（7﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2]=（4+1+4+1）=．

故答案为：2．

知识点：3.空间几何体的表面积与体积

4

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．

【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积．

【解答】解：因为球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线为2，所以球O的半径是，体积是．

故答案为：4π；

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

[，4]

【考点】简单线性规划．

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．

【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：

因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．

所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，

当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．

又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．

所以≤a≤4．

故答案为：[，4]

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

【考点】余弦定理；余弦函数的图象．

【分析】（1）由已知利用三角函数周期公式可求ω，由余弦函数的对称性，结合范围0＜φ＜可求φ的值．

（2）由已知可求，结合范围﹣＜A﹣＜，可求A的值，进而利用余弦定理可求bc=9，结合a+c=6，即可得解b，c的值．

【解答】（本题满分10分）

解：（1）函数f（x）的最小正周期为π=，∴ω=2，…

x=﹣为f（x）的图象的一条对称轴，

∴…

（2）∵，

∴，

∵﹣＜A﹣＜，

∴A﹣=，解得：A=，…

∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，即bc=9． …

又∵b+c=6，

∴解得到b=c=3．…

知识点：2.用样本估计总体

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．

【分析】（1）根据中位数的左边和右边的直方图的面积相等可求中位数；计算每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和可得平均数．

（2）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于140～150的学生人数和身高介于150～160的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在140﹣160的学生中随机抽取2名学生的事件个数及至少有一个人身高在150﹣160之间的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．

【解答】解：（1）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5

所以中位数的估计值为162.5．

平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162，

（2）这20名学生中，身高在140﹣150之间的有2个，分别为A，B，身高在150﹣160之间的有6人，

从这8人中任选2个，有=28种选法，

两个身高都在140﹣﹣﹣150之间的选法有1种选法，

所以至少有一个人在150﹣160之间的选法有28﹣1=27，

故至少有一人的身高在150﹣160之间的概率为．

知识点：2.等差数列及其性质

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）解方程x2﹣12x+27=0，可得a2=3，a5=9．利用等差数列与等比数列通项公式即可得出．

（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（1）解x2﹣12x+27=0得x1=3，x2=9，因为{an}是递增，所以a2=3，a5=9…

解，得，所以an=2n﹣1 …

又由，，得q=，…

所以． …

（2）…

…

…

两式相减得： =，…

所以＜2…

知识点：3.空间几何体的表面积与体积

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）取棱A1C1的中点F，连接EF、B1F，利用三角形中位线定理，证明四边形DEFB1是平行四边形，从而DE∥B1F，利用线面平行的判定定理即可得出．

（2）过A作AH⊥BC于H，利用VA﹣DCE=VD﹣ACE=，即可得出三棱锥A﹣DCE的体积．

【解答】（1）证明：取棱A1C1的中点F，连接EF、B1F…

则由EF是△AA1C1的中位线得EF∥AA1，EF=AA1

又DB1∥AA1，DB1=AA1…

所以EF∥DB1，EF=DB1…

故四边形DEFB1是平行四边形，从而DE∥B1F…

所以DE∥平面A1B1C1…

（Ⅱ）解：因为E是AC1的中点，所以VA﹣DCE=VD﹣ACE=…

过A作AH⊥BC于H…

因为平面平面ABC⊥平面BB1C1C，所以AH⊥平面BB1C1C，…

所以==…

所以VA﹣DCE=VD﹣ACE==…

知识点：1.椭圆

【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．

（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入•的表达式中，求得•=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+=1

（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．

由解得即两圆相切于点（1，0）．

因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．

事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．

由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．

记点A（x1，y1），B（x2，y2），则

又因为=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）

=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1

=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为k＜对任意x＞1恒成立，令g（x）=，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

【解答】解：（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e﹣3，由f′（x）＜0得到x＜e﹣3，

∴函数f（x）=2x+xlnx的增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）．

（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k＜，

即k＜对任意x＞1恒成立．

令g（x）=，则g′（x）=，

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

则h′（x）=1﹣=＞0⇒h（x）在（1，+∞）上单增．

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，

当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3．