知识点：9.对数与对数运算

x＞log32

考点：指、对数不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．

解答： 解：∵3x＞2＞0，

∴，

即x＞log32．

故答案为：x＞log32．

点评：本题考查指数不等式的解法，将其转化为对数不等式是解题的关键，属于基础题．

知识点：3.复数代数形式的四则运算

3

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．

解答： 解：复数（a+3i）（1﹣i）=a+3+（3﹣a）i是实数，

∴3﹣a=0，解得a=3．

故答案为：3．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

知识点：4.矩阵与变换

2

考点：二阶矩阵．

专题：矩阵和变换．

分析：由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．

解答： 解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到

二元线性方程组的表达式 ，

解得 x=4，y=2，

故答案为：2．

点评：本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．

知识点：7.数列的通项

2n

考点：等差数列的前n项和；数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由题意知得 ，由此可知数列{an}的通项公式an．

解答： 解：a1=S1=1+1=2，

an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣

=2n．

当n=1时，2n=2=a1，

∴an=2n．

故答案为：2n．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=Sn﹣Sn﹣1求解数列的通项公式，属于基础题．

知识点：3.二项式定理

210

考点：二项式系数的性质．

专题：计算题；二项式定理．

分析：依题意得，由二项式系数和2n=1024，求得n的值，再求展开式的第k+1项的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．

解答： 解：依题意得，由二项式系数和 2n=1024，解得n=10；

由于展开式的第k+1项为，

令20﹣3r=2，解得r=6，

∴展开式中含x2项的系数为=210．

故答案为：210．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

知识点：4.直线与圆的位置关系

1

考点：圆的切线方程．

专题：直线与圆．

分析：由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．

解答： 解：由（x﹣1）2+y2=r2，可知圆心坐标为（1，0），半径为r，

∵直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，

由圆心到直线的距离d=，

可得圆的半径为1．

故答案为：1．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

2

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求x+y的最大值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

设z=x+y得y=﹣x+z，

平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得，即B（1，1），

代入目标函数z=x+y得z=1+1=2．

即目标函数z=x+y的最大值为2．

故答案为：2．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．

知识点：6.三角函数的图像与性质

（﹣1，+∞）

考点：三角函数的最值．

专题：三角函数的求值．

分析：问题转化为m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求t=sin2x﹣2sin2x的最大值即可．

解答： 解：∵对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，

∴m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，

∴只需求t=sin2x﹣2sin2x的最大值，

∵t=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）

=sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+）﹣1，

∴当sin（2x+）=1时，t取最大值﹣1，

∴m的取值范围为（﹣1，+∞）

故答案为：（﹣1，+∞）

点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．

知识点：11.球

2

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：先求出球的半径，再利用勾股定理，即可求出截面与球心的距离．

解答： 解：球的表面积为64πcm2，则球的半径为4cm，

∵用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，

∴截面与球心的距离是=2cm．

故答案为：2．

点评：本题考查截面与球心的距离，考查球的表面积，求出球的半径是关键．

知识点：2.古典概型

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；等可能事件的概率．

专题：计算题．

分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l1⊥l2，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，即可得到结果．

解答： 解：设事件A为“直线l1⊥l2”，

∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2）…，（1，6），

（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（5，6），…，（6，6）共36种，

而l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，l1⊥l2⇔1•a﹣2b=0，

∴a=2时，b=1；

a=4时，b=2；

a=6时，b=3；

共3种情形．

∴P（A）==．

∴直线l1⊥l2的概率为：．

故答案为：

点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的垂直，关键在于掌握等可能事件的概率公式，属于中档题．

知识点：13.函数与方程

a=1或a=﹣2

考点：函数零点的判定定理．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：首先可判断函数﹣4是偶函数，且在

【题文】

已知函数为实数．

（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；

（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．

【答案】

【解析】

考点：函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）=1+＞0可得；

（2）a≤0时，x=时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）=x+时，利用基本不等式求出y=f（x）的最小值为2．

解答： 解：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增．

∵f′（x）=1+＞0，

∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；

（2）a＜0时，x=时，函数取得最小值0；a=0时函数无最小值；

a＞0时，f（x）=x+≥2，当且仅当x=时，y=f（x）的最小值为2．

点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．

知识点：10.空间角与距离

考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．

专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．

分析：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．

（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD，求出AH，即可求点A到平面PBD的距离．

解答： 解：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：

∵O为BD的中点，则EO=PC=，且OE∥PC，

又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=2，BD=2．

∴OB=BD=，BE=，

∴|cos∠EOB|=||=0，

即异面直线PC与BD所成角为90°；

（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD．

在直角三角形AOE中，AE=1，OA=，OE=，

由等面积可得AH==．

点评：本题考查异面直线及其所成的角，点A到平面PBD的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键．

知识点：10.空间角与距离

考点：球面距离及相关计算．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：（1）求出∠AOC，在△ACO中利用余弦定理，即可求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离；

（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，即可求此时天线方向AC与水平线的夹角．

解答： 解：（1）设∠AOC=θ，则=9°．

在△ACO中，AC2=63702+80002﹣2×6370×8000×cos9°=3911704.327，

所以AC≈1978（千米），

所以人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离为1978千米；

（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，

所以，

所以sin（φ+90°）≈0.6327，

所以cosφ≈0.6327，

所以φ≈50°45′，

所以此时天线方向AC与水平线的夹角为50°45′．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

知识点：1.椭圆

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）通过直线l的方程可得D、E坐标，将y=2x﹣4代入y2=4x可得点A、B坐标，利用、，计算即可；

（2）通过联立x=my+1（m＞1）与=1，利用韦达定理、、，计算即得结论；

（3）通过设直线l的方程并与双曲线C方程联立，利用韦达定理、，，计算即可．

解答： 解：（1）将y=2x﹣4代入y2=4x，求得点A（1，﹣2），B（4，4），

又∵D（2，0），E（0，﹣4），且，

∴（1，2）=λ1（1，2）=（λ1，2λ1），即λ1=1，

同理由，可得λ2=﹣2，

∴λ1+λ2=﹣1；

（2）联立x=my+1（m＞1）与=1，

消去x可得：（2+m2）y2+2my﹣1=0，

由韦达定理可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，

∵D（1，0），E（0，﹣），且，

∴y1+=﹣λ1y1，∴λ1=﹣（1+），

同理由，可得y2+=﹣λ2y2，∴λ2=﹣（1+），

∴λ1+λ2=﹣（1+）﹣（1+）=﹣2﹣=﹣2﹣=﹣4，

∴=﹣==，

∵m＞1，∴点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，

由分点的性质可得λ1∈（，0），

∴∈（﹣∞，﹣2）；

（3）设直线l的方程为：x=my+t，代入双曲线C方程，

消去x得：（﹣3+m2）y2+2mty+（t2﹣3）=0，

由韦达定理可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴+=﹣，

由，可得：﹣（λ1+λ2）=2+•（+），

∵λ1+λ2=6，∴2+•（﹣）=﹣6，解得t=±2，

∴点D（±2，0）；

当直线l与x轴重合时，λ1=﹣，λ2=或者λ1=，λ2=﹣，

∴都有λ1+λ2==6也满足要求，

∴在x轴上存在定点D（±2，0）．

点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

知识点：2.等差数列及其性质

考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）数列{an}的通项公式为an=2n2﹣n+1，可得：a1=2，an，n≥1时为单调递增数列．可得A1=a1=2，B1=a2=7，b1=﹣5．同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3．可得数列{bn}的通项公式bn=An﹣Bn=an﹣an+1．

（2）由数列{an}递增，可得An=an，Bn=an+1，可得bn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣（an+1﹣an），即可证明．

（3）设d是非负整数，先证明：bn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列，即可得出．

解答： （1）解：数列{an}的通项公式为an=2n2﹣n+1，

a1=2，+，n≥1时为单调递增数列．

∴A1=2，B1=a2=2×22﹣2+1=7

b1=2﹣7=﹣5．

同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3=﹣9．

∴数列{bn}的通项公式bn=An﹣Bn=an﹣an+1=2n2﹣n+1﹣=﹣4n﹣1；

（2）证明：∵数列{an}递增，∴An=an，Bn=an+1，

∴bn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣（an+1﹣an），

∵{an+1﹣an}是等差数列，

∴{bn}为等差数列．

（3）解：设d是非负整数，先证明：bn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，

∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，

∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．

必要性：若bn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak﹣ak﹣1＜0的项，

则dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，这与dn=﹣d≤0相矛盾，

故{an}是一个不减的数列．

∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即 an+1﹣an=d，

故{an}是公差为d的等差数列．

而数列{bn}的通项公式为bn=1﹣2n，

bn+1﹣bn=﹣2，

∴{an+1﹣an}是公差为2等差数列．

点评：本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列的单调性、充要条件，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．