在平面直角坐标系
中，点
、
，动点
满足
．
⑴求点的轨迹
的方程．⑵若直线
与轨迹相交于
、
两点，直线
与轨迹相交于、
两点，顺次连接、、、得到的四边形
是菱形，求
．
知识点：5.平面向量
⑴设
，则
，
，
，因为
，所以
……4分，化简整理得点
的轨迹
的方程为
．
⑵设
、
，由的对称性，得
、
，因为
是菱形，所以
，
，即
……9分，由
得
……10分，
，
检验知，此时
……13分，所以
已知数列
的前
项和为
，
，
，
．
⑴求
的通项公式．⑵证明：对，
．
知识点：3.数列
⑴依题意，
，
……1分，
所以
是首项为
、公比为的等比数列……3分，所以
，
．
⑵对，
……7分，
，所以，
……9分，所以
……10分，两式相减，整理得
…11分，
…13分，
．
已知
，
，
，
是常数．⑴求曲线
在点
处的切线
．⑵是否存在常数
，使
也是曲线
的一条切线．若存在，求的值；若不存在，简要说明理由．⑶设
，讨论函数
的单调性．
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
⑴
，
，
……1分，所以直线
的方程为
。
⑵设
在
处的切线为，则有
……4分，解得
，即，当
时，是曲线在点
的切线．
⑶
．
当
，
时，
……7分，
在
单调递增；
当
时，
……9分，在
单调递增，在
单调减少；
当
时，解
得
，
，在
和
单调递增，在
单调减少；
当
时，解得
，
（
舍去）……13分，在单调递增，在
单调减少．
已知点C（1，0），点A、B是⊙O：
上任意两个不同的点，
且满足
，设P为弦AB的中点，
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线
的距离恰好
等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
知识点：10.圆锥曲线与方程
解：（1）法一：连结CP，由
，知AC⊥BC
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝
，由垂径定理知
即
设点P（x，y），有
，化简，得到
法二：设A
，B
，P
，
根据题意，知
，
，
∴
故
……①
又，有
∴
，故
代入①式，得到
化简，得到
（2）根据抛物线的定义，到直线
的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线
上，其中
，∴
，故抛物线方程为
由方程组
得
，解得
由于
，故取
，此时
,
故满足条件的点存在的，其坐标为
和
已知数列和
满足
，
，
．
（1）求数列的通项公式；（2）设
，求使得
对一切都成立的最小正整数
；（3）设数列的前和为
，
，试比较
与
的大小．
知识点：3.数列
解：（1）由
得
代入
得
，
整理得
，∵
否则
，与
矛盾,从而得
,
∵ 
∴数列
是首项为1，公差为1的等差数列，∴
，即
．
（2）∵
＝
＝
∴
＝
＝
＝
∴要使
对一切
都成立， 必须并且只须满足
≤
，即m≥5，
∴满足要求的最小正整数
为5．-
（3）∵
∴
＝
＝
-
又∵
＝
＝
∴
．
设函数
．（1）若
，求函数
的极值；（2）若
是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；（3）在（2）的条件下，设
，函数
．若存在
使得
成立，求的取值范围．
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
解：（1）∵
当
时，
，则
-
令
得
，∵
∴
，解得
-
∵当
时，
，当
时
，当
时
∴当
时，函数
有极大值，
，
当
时，函数有极小值，
（2）由（1）知
∵是函数的一个极值点 ∴
即
，解得
则
＝
令
，得
或
，∵是极值点，∴
，即
当
即
时，由
得
或
由
得
当
即
时，由得
或
由得
综上可知：当时，单调递增区间为
和
，递减区间为
当时，单调递增区间为
和
，递减区间为
（3）由（2）知，当a>0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数在区间
上的最小值为
又∵
，
，
∴函数在区间[0，4]上的值域是
，即
-
又
在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是
-
∵
－
＝
＝
，
∴存在
使得
成立只须仅须
－<1
.
在平面直角坐标系中，已知向量
（
），
，动点
的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当
时，已知
、
，试探究是否存在这样的点： 是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积
？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
知识点：5.平面向量
解：（1）∵
∴
，得
即
当
时，方程表示两条与x轴平行的直线；
当
时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；
当
且
时，方程表示椭圆；
当
时，方程表示双曲线.
（2）由（1）知，当时，轨迹T的方程为：
.
连结OE，易知轨迹T上有两个点A
，B
满足
,
分别过A、B作直线OE的两条平行线
、
.
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线、上.
-
∵
∴直线、的方程分别为：
、
设点
（
）∵
在轨迹T内，∴
分别解
与
得
与
∵∴
为偶数，在
上
，对应的
在
上
，对应的
-
∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：
．
已知曲线：
，数列的首项
，且当
时,点
恒在曲线上，数列满足
.（1）试判断数列是否是等差数列？并说明理由；（2）求数列和的通项公式；（3）设数列
满足
，试比较数列的前n项和与2的大小.
知识点：10.圆锥曲线与方程
解：（1）∵当
时,点
恒在曲线上，∴
-
由
得，当时，
---
∴数列
是公差为
的等差数列.------------------------
（2）∵
＝4，∴
，∴
-
由
得
----------------------------------
（3）∵
∴
＝
--------------
∴
-----14分
设函数
。（1）当
时，求函数
在
上的最大值；
（2）记函数
，若函数
有零点，求的取值范围.
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
解：（1）当
时，
＝
∴当
时，
---
当
时，
＝
∵函数
在
上单调递增 ∴
--------
由
得
又
∴当
时，
，当
时，
.-
（2）函数
有零点即方程
有解，即
有解
令
当
时
∵
，∴函数
在
上是增函数，∴
，
当
时，
∵
------
∴函数在
上是减函数，∴
---------
∴方程有解时
，即函数有零点时
如图所示，椭圆
的离心率为
，且A（0，1）是椭圆C的顶点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线
，设以椭圆C的右焦点F为抛物线
的焦点，若点M为抛物线E上任意一点，求点M到直线距离的最小值。
知识点：10.圆锥曲线与方程
解：（1）由题意可知，
，即
所以椭圆C的方程为：
（2）方法一：由（1）可求得椭圆C的坐标F（1，0）
抛物线E的方程为：
，而直线
的方程为
设动点M为
，则点M到直线的距离为
即抛物线E上的点到直线距离的最小值为
方法二：由（1）可求得椭圆C的右焦点坐标F（1，0）
抛物线E的方程为：，而直线的方程为
可设与直线平行且抛物线E相切的直线
方程为：
由
可得：
9分
，
解得： 直线方程为：
抛物线上的点到直线的距离的最小值等于直线与的距离：
已知
是的导函数，
，且函数的图象过点（0，-2）。（1）求函数的表达式；（2）设
在点
处的切线与
轴垂直，求的极大值。
知识点：11.导数及其应用
解：（1）由已知得
2分
又
，
4分，
5分，
（2）
又
，由
，
由
，解得
；由
，解得
则
的单调增区间是
，单调递减区间是
故极大值为
极小值为
设
，方程
有唯一解，已知
，且
（1）求数列
的通项公式；（2）若
，求和
；（3）问：是否存在最小整数，使得对任意
，有
成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
知识点：3.数列
解：（1）因为方程
有唯一解，可求
从而得到
，
，
又由已知
数列
是首项为
，公差为
的等差数列 4分，故
所以数列
的通项公式为
（2）将
代入
可求得
（3）
恒成立，只要
即可，
而
，即要
，
故存在最小的正整数
已知椭圆
：
的面积为
，且包含于平面区域
内，向
内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为
．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）若斜率为
的直线
与椭圆交于
、
两点，点
为椭圆上一点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试问：
是否为定值？请证明你的结论．
知识点：1.椭圆
（Ⅰ）平面区域
是一个矩形区域，
如图所示． 依题意及几何概型，可得
，
即 
．因为 
，
所以， 
． 所以，椭圆
的方程为
（Ⅱ）设直线的方程为：
，
联立直线的方程与椭圆方程得：
（1）代入（2）得：
化简得：
………（3）
当
时，即，
也即，
时，直线与椭圆有两交点， 由韦达定理得：
，
所以，
， 
则
，所以，
为定值。
已知数列
满足：
，且对任意
N*都有
．
（Ⅰ）求
，
的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：
=
（N*）．
知识点：3.数列
解：（Ⅰ）由已知，
得
，
得
（Ⅱ）当
时，
①
②
①－②得：
，
∴ 数列
皆为等差数列，∴ 
综上， 
， 
．
（Ⅲ）
，
，∴等式成立。
已知函数
．（Ⅰ）判断函数
的奇偶性；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若关于
的方程
有实数解，求实数
的取值范围．
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
解：（Ⅰ）函数的定义域为{
且
}
，∴为偶函数
（Ⅱ）当
时，
若
，则
，递减；若
， 则
，递增．
再由是偶函数，得的
递增区间是
和
；递减区间是
和
．
（Ⅲ）方法一：要使方程
有实数解，即要使函数的图像与直线
有交点．
函数的图象如图．…………………
先求当直线与的图象相切时
的值．
当时，
设切点为
，则切线方程为
，将
代入，得
即
（*）
显然，
满足（*）而当
时，
，当 
时，
∴（*）有唯一解 此时
再由对称性，
时，也与的图象相切，…
∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．
方法二：由，得：
令
，当，
，显然
时，
，
，
时，，
，∴时，
又
，
为奇函数∴
时，
∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞） ……
∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．
已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点
，离心率为
，左、右焦点分别为F1和F2 。 （1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求⊿MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
知识点：10.圆锥曲线与方程
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
.由已知，
，
，
. 解得
，∴所求椭圆方程为
（Ⅱ）令
，则 
∵
，故
的最大值为
-
∴当
时，
的最大值为。
（Ⅲ）假设存在一点P, 使
，
∴
，
∴⊿PF1F2为直角三角形，∴
① ---
又∵
② -------
∴②2－①，得 
∴
--------
即
=5，但由（1）得最大值为
，故矛盾，∴不存在一点P, 使
已知数列
的前n项和是
，且满足
（1）求数列的通项公式；（2）若数列
满足
，求数列的前n项和Tn ；
知识点：3.数列
解：（Ⅰ）由
得，
当
,
，
是以2为公比的等比数列
令n=1得
的通项公式是
（Ⅱ）由
--
，
相减得：
-
已知函数
.（）（1）当
时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线
下方，求的取值范围．
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
解：（Ⅰ）当
时，
，
；
对于
[1，e]，有，
----3分 ∴在区间[1，e]上为增函数，-
∴
-----5分，
.
（Ⅱ）令
，
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线
下方
等价于
在区间（1，+∞）上恒成立
, ---
∵
-----
① 若
，令
，得
，
， ---
当
，即
时，在（，+∞)上有
，此时在区间(，+∞)上是增函数，
,∈(
，+∞)，不合题意；
当
，即
时，同理可知，在区间(1，+∞)上是增函数，
，有∈(
，+∞)，也不合题意；
② 若
，则有
，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；
-----
要使在此区间上恒成立，只须满足
，--13分由此求得
的范围是[
，].
综上述，的取值范围是[，].
已知数列
的前项和为，且，
．（1）求
的值； （2）求数列的通项公式
；[来源:学§科§网Z§X§X§K]（3）设
，求数列
的前项和
．
知识点：3.数列
解：（1）∵
，∴
，
，
，
（2）∵
，∴
，∴
，
又
，∴数列
自第项起是公比为
的等比数列，∴
，
（3）∵
，∴
，
……………
∴
，
①
② …
①-②得
=
∴
． …………………………来源:Zxxk.Com]
设函数
，其中为常数．（1）证明：对任意，的图象恒过定点；（2）当
时，判断函数是否存在极值？若存在，证明你的结论并求出所有极值；若不存在，说明理由．
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
解：（1）令
，得
，且
，[来源:学。科。网] 所以的图象恒过定点
；
（2）当
时，
，，
经观察得
有根令
，
当时，
，即
在
上是单调递增函数．所以有唯一根．
当
时，
，在
上是减函数；
当
时，
，在
上是增函数．…
所以是的唯一极小值点．极小值是
． …
已知抛物线
的方程为
，圆
的方程为
，直线
（
）是、的公切线．
是的焦点．（1）求与的值；（2）设
是上的一动点，以为切点的的切线交轴于点
，设
，证明：点在一定直线上．
知识点：3.抛物线
解：（1）由已知，圆
： 
的圆心为
，半径
．
由题设圆心到直线
的距离
． ……………
即
，解得
（
舍去）． …………………
设
与抛物线的相切点为
，又
，得
，
．
代入直线方程得：
，∴
所以，．
（2）由（1）知抛物线
方程
为
，焦点
．
设
，由（1）知以
为切点的切线的方程为
．
令
，得切线交
轴的
点坐标为
所以
，
，∴
因为
是定点，所以点在定直线
上．
某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设
，把y表示成
的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
知识点：14.函数的应用问题
【解】（1）在
中，
所以
=OA=
.所以
由题意知
. …
所以点P到A、B、C的距离之和为
.
故所求函数关系式为
.
…………………
（2）由（1）得
，令
即
，又，从而
. .
当
时，
；当
时, 
.
所以当时，
取得最小值， ………
此时
（km），即点P在OA上距O点
km处.
变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………
已知椭圆
的离心率为
，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且
. （1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线
与D有公共点，试求实数m的最小值．
知识点：1.椭圆
【解】（1）由离心率
，得
，即
.
① ………
又点
在椭圆
上，即
.
② …………
解 ①②得
，
故所求椭圆方程为
.
…………
由
得直线l的方程为
. …
（2）曲线
，即圆
，其圆心坐标为
，半径
，表示圆心在直线
上，半径为
的动圆. ………………… 10分
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑
的情形.
设
与直线l相切于点T，则由
，得
，…
当
时，过点
与直线l垂直的直线
的方程为
，解方程组
得
.…………
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为
， 所以切点
，由图可知当过点B时，m取得最小值，即
，解得
. …………
已知二次函数g（x）对任意实数x都满足
，且
．令
．
（1）求 g(x)的表达式； （2）若
使
成立，求实数m的取值范围；
（3）设
，
，证明:对
，恒有
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
【解】 （1）设
，于是
所以
又
，则
．所以
.
…………
（2）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，
对
，
恒成立； ………
当m<0时，由
，列表：
|
x |
|
|
|
|
|
－ |
0 |
＋ |
|
|
减 |
极小 |
增 |
所以若，恒成立，则实数m的取值范围是
.
故
使
成立，实数m的取值范围
．………
（3）因为对
，
所以
在
内单调递减.
于是
……
记
，则
由于卫生的要求游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水）, 游泳池的水深经常变化,已知泰州某浴场的水深（米）是时间
，(单位小时)的函数，记作
，下表是某日各时的水深数据
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
2
5
2 0
15
20
249
2
151
199
2 5
经长期观测的曲线可近似地看成函数
（Ⅰ）根据以上数据，求出函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（Ⅱ）依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8
00至晚上20 00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动
知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
解
（1）由表中数据，知
， 
由
得
由
,得
所以，
振幅A=，∴y=
………………
(2)由题意知，当
时，才可对冲浪者开放 ∴>2, 
>0
∴–
,即有
，
由
,故可令
,得
或
或
…
∴在规定时间内有6个小时可供游泳爱好者运动即上午9 00至下午15 00………
