知识点：18.映射

D

【考点】一元二次不等式的应用；映射．

【专题】计算题．

【分析】集合M中的两个元素的像都等于﹣2不可能，都等于b2﹣4b+1 也不可能，故只有b2﹣4b+1=﹣1，且a2﹣4a=﹣2，最后结合方程的思想利用根与系数的关系即可求得a+b．

【解答】解：由题意知，b2﹣4b+1=﹣1，且a2﹣4a=﹣2，

∴a，b是方程x2﹣4x+2=0的两个根，

根据根与系数的关系，故a+b=4，

故选D．

【点评】本题考查映射的定义，集合M中的元素和集合N中的元素相同，体现了分类讨论的数学思想．

知识点：1.平面向量的实际背景及概念

A

【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】根据条件和向量共线的等价条件得，，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k和λ的值即可．

【解答】解：∵，∴，

即k=，得，

解得k=λ=﹣1，

∴=﹣=﹣，

故选A．

【点评】本题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题．

知识点：6.微积分的基本定理

D

【考点】定积分．

【专题】计算题．

【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．

【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，

∴（1+cosx）dx=（x+sinx）

=+sin﹣=π+2．

故选D

【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．

知识点：2.平面向量的线性运算

B

【考点】向量的加法及其几何意义．

【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．

【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，

则==，

所以有，故m=3，

故选：B．

【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．

知识点：6.简单的逻辑联结词

C

【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．

【专题】简易逻辑．

【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．

【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2xln2﹣ln2=ln2（），

当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；

同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．

由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．

故选C．

【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

A

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．

【专题】计算题．

【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．

【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．

∴∴由此易得．

故选A

【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

A

【考点】复合三角函数的单调性．

【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法．

【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．

【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，

原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，

对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，

当时，g（t）为增函数，

当时，t=cosx减函数，

且，∴原函数此时是单调增，

故选A

【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

D

【考点】三角形的形状判断．

【专题】计算题．

【分析】设，由 =0，可得AD⊥BC，再根据边形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAC，

再由第二个条件可得∠BAC=60°，由△ABH≌△AHC，得到AB=AC，得到△ABC是等边三角形．

【解答】解：设，则原式化为 =0，

即 =0，∴AD⊥BC．

∵四边形AEDF是菱形，|•=||•||•cos∠BAC=，

∴cos∠BAC=，∴∠BAC=60°，

∴∠BAD=∠DAC=30°，∴△ABH≌△AHC，∴AB=AC．

∴△ABC是等边三角形．

【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题．

知识点：5.充分条件与必要条件

B

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】常规题型．

【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．

【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

∵A＞30°

∴30°＜A＜180°

∴0＜sin A＜1

∴可判读它是sinA＞的必要而不充分条件

故选B．

【点评】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．

知识点：5.奇偶性与周期性

C

【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．

【专题】证明题；压轴题；探究型．

【分析】观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．

【解答】解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，

又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2

所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，

所以f（x）在（0，1）上是减函数，

观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；

B选项中sin＞cos，故B不对；

C选项中sin1＞cos1，故C对；

D亦不对．

综上，选项C是正确的．

故应选C．

【点评】本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．

知识点：1.函数的概念及其表示

C

【考点】抽象函数及其应用；函数的值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据抽象函数的关系进行代入求解即可．

【解答】解：由题意可知：

f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1

=f（0）+f（1），

∴f（0）=0．

f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1

=f（﹣1）+f（1）﹣2，

∴f（﹣1）=0．

f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1

=f（﹣2）+f（1）﹣4，

∴f（﹣2）=2．

f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1

=f（﹣3）+f（1）﹣6，

∴f（﹣3）=6．

故选：C

【点评】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

A

【考点】三角函数的和差化积公式．

【专题】三角函数的求值．

【分析】由AC边上的高为c﹣a，由AC=b，表示出三角形的面积，再由a，c及sinB，利用三角形的面积公式表示出面积，两者相等列出关系式，利用正弦定理化简后，根据sinB不为0，得到sinA﹣sinC=sinAsinC，左边利用和差化积公式变形，右边利用积化和差公式变形，表示出2cossin，将所求式子平方并利用完全平方公式展开，第一、三项利用二倍角的余弦函数公式化简，将表示出的2cossin代入，求出值，再由c﹣a大于0，得到C大于A，可得出的范围，进而确定出sin大于0，由三角形内角和定理得到=90°﹣，得出的范围，进而确定出cos大于0，可得出所求式子大于0，开方即可求出值．

【解答】解：∵S△ABC=acsinB=b（c﹣a），

∴acsinB=b（a﹣c），

利用正弦定理化简得：sinAsinBsinC=sinB（sinA﹣sinC），

∵sinB≠0，

∴sinA﹣sinC=sinAsinC，

∴2cossin=[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]，

又cos（A﹣C）=1﹣2sin2，cos（A+C）=2cos2﹣1，

∴（sin+cos）2=sin2+2sin+cos+cos2

=[1﹣cos（C﹣A）]+[cos（C﹣A）﹣cos（A+C）]+[1+cos（C+A）]=1，

∵c﹣a＞0，∴C＞A，

∴0＜＜90°，

∴sin＞0，

又=90°﹣，且0＜90°﹣＜90°，

∴cos＞0，

∴sin+cos＞0，

则sin+cos=1．

故选A

【点评】此题考查了三角形的和差化积公式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

知识点：13.函数与方程

（1，+∞）

【考点】函数的零点．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．

【解答】解：令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．

在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=ax﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．

故答案为：（1，+∞）

【点评】作出图象，数形结合，事半功倍．

知识点：11.幂函数

【考点】幂函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，可得m+4＞3﹣2m＞0，解出即可得出．

【解答】解：∵（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，

∴m+4＞3﹣2m＞0，

解得．

故m的取值范围为：．

故答案为：．

【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

知识点：3.集合的基本运算

{﹣1，}

【考点】交集及其运算．

【专题】集合．

【分析】利用题中的新定义求出集合A中的方程，确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．

【解答】解：由集合A中的等式x2﹣2[x]=3变形得：x2=2[x]+3，由题意可知x2为整数，

而x2﹣2x﹣3=0的解为：x=﹣1或3，则[﹣1]=﹣1，[3]=3，

所以x2=2[x]+3=﹣2+3=1或x2=2×3+1=7，解得x=±1或x=±，

经检验：x=1，x=﹣不合题意舍去，所以x=﹣1或，

∴集合A={﹣1，}，

由B中不等式变形得： 2﹣3＜2x＜23，即﹣3＜x＜3，

∴B={x|﹣3＜x＜3}，

则A∩B={﹣1，}，

故答案为：{﹣1，}

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

知识点：2.定义域与值域

③

【考点】函数恒成立问题．

【专题】新定义．

【分析】结合题中的新定义，取x=0时，可排除②④，对①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常数k，

③中整理可得：≤k，只需求出的最大值即可．

【解答】解：当x=0时，

②中f（0）=1，④中f（0）=2显然不成立，故不是“海宝”函数；

①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常数k，使对一切实数x均成立，故不是“海宝”函数；

③中整理可得：≤k，对一切实数x均成立，

∵x2+x+1≥，

∴≤，

∴k≥，故③正确．

故答案为 ③

【点评】考查新定义，需对新定义理解透彻，利用新定义逐一判断．

知识点：2.定义域与值域

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】集合．

【分析】（1）要使f（x）有意义，则需2﹣≥0，按分式不等式的解法求解即可；

（2）要使g（x）有意义，则由真数大于零求解，根据A⊆B，计算即可．

【解答】解：（1）由2﹣≥0得：

≥0，解得x＜﹣1或x≥1，

即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）；

（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，

得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0

由a＜1得a+1＞2a，∴2a＜x＜a+1，

∴B=（2a，a+1）．

又A⊆B，A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），

显然无解．

【点评】本题通过求函数定义域来考查分式不等式，一元二次不等式的解法和集合的运算．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；

（Ⅱ）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，]求出函数的值域．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=•

=

=A（）

=Asin（2x+）．

因为A＞0，由题意可知A=6．

（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．

将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，

y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）．的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，

纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．

因为x∈[0，]，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．

故g（x）在[0，]上的值域为[﹣3，6]．

【点评】本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

【考点】解三角形的实际应用．

【专题】综合题．

【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．

（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．

【解答】解：（I）如图，AB=40，AC=10，．

由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．

由余弦定理得BC=．

所以船的行驶速度为（海里/小时）．

（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．

在△ABC中，由余弦定理得，

==．

从而．

在△ABQ中，由正弦定理得，

AQ=．

由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．

过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．

在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）

=．

所以船会进入警戒水域．

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力．

知识点：6.二次函数

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

【专题】综合题．

【分析】（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．

（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．

因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，

又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，故f'（﹣1）=0，

即﹣2a+b=0，因此b=2a．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故当时，bc取得最小值﹣．

此时有．

从而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x，

所以

令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．

当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数；

当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（﹣2，2）上为增函数．

当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．

由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）．

【点评】本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】函数的单调性与导数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】（Ⅰ）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之

（Ⅱ）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）==，

∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，

∴f'（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，

即x2﹣ax﹣2≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．①

设φ（x）=x2﹣ax﹣2，

方法一：φ

①⇔⇔﹣1≤a≤1，

∵对x∈[﹣1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0

∴A={a|﹣1≤a≤1}．方法二：

①⇔或

⇔0≤a≤1或﹣1≤a≤0

⇔﹣1≤a≤1．

∵对x∈[﹣1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0

∴A={a|﹣1≤a≤1}．

（Ⅱ）由，得x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0

∴x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=﹣2，

从而|x1﹣x2|==．

∵﹣1≤a≤1，∴|x1﹣x2|=≤3．

要使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[﹣1，1]恒成立，

即m2+tm﹣2≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立．②

设g（t）=m2+tm﹣2=mt+（m2﹣2），

方法一：

②⇔g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0，g（1）=m2+m﹣2≥0，

⇔m≥2或m≤﹣2．

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

②⇔m＞0，g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0或m＜0，g（1）=m2+m﹣2≥0

⇔m≥2或m≤﹣2．

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．

【点评】本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

【专题】计算题；证明题；压轴题．

【分析】（1）欲求：“当n=2时，”的极值，利用导数，求其导函数的零点及单调性进行判断即可；

（2）欲证：“f（x）≤x﹣1”，令，利用导函数的单调性，只要证明函数f（x）的最大值是x﹣1即可．

【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，

当n=2时，，所以．

（1）当a＞0时，由f'（x）=0得，，

此时．

当x∈（1，x1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．

综上所述，n=2时，

当a＞0时，f（x）在处取得极小值，极小值为．

当a≤0时，f（x）无极值．

（Ⅱ）证法一：因为a=1，所以．

当n为偶数时，

令，

则（x≥2）．

所以当x∈[2，+∞）时，g（x）单调递增，

又g（2）=0，

因此恒成立，

所以f（x）≤x﹣1成立．

当n为奇数时，要证f（x）≤x﹣1，由于，所以只需证ln（x﹣1）≤x﹣1，

令h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1），

则（x≥2），

所以当x∈[2，+∞）时，h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）单调递增，又h（2）=1＞0，

所以当x≥2时，恒有h（x）＞0，即ln（x﹣1）＜x﹣1命题成立．

综上所述，结论成立．

证法二：当a=1时，．

当x≥2时，对任意的正整数n，恒有，

故只需证明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．

令h（x）=x﹣1﹣（1+ln（x﹣1））=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），

则，

当x≥2时，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上单调递增，

因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．

故当x≥2时，有．

即f（x）≤x﹣1．

【点评】本题主要考查函数的导数、不等式等知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力．