辽宁省沈阳二中2016届高三上学期期中数学试卷

已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁UA）∩B=( )

A．∅ B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}

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答案及解析:

知识点：3.集合的基本运算

D

考点：补集及其运算；交集及其运算．

专题：计算题．

分析：本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简

解答：解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，

故CUA={y|y≤1}

∴（CUA）∩B={x|0＜x＜1}

故选D

点评：本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力

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设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是( )

A． B．i C． D．i

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知识点：3.复数代数形式的四则运算

A

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：计算题；方案型；函数思想；方程思想；综合法；数系的扩充和复数．

分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．

解答：解：复数z=1+i（i是虚数单位），

则复数z+=1+i+=1+i+=．

复数z+的虚部是：．

故选：A．

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基础题．

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设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是( )

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c

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知识点：10.对数函数及其性质

D

考点：对数值大小的比较．

专题：转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．

分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

解答：解：∵1＞a=2﹣0.5=，b=log20152016＞1，c=sin1830°=sin30°=，

∴b＞a＞c，

故选：D．

点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7=9a3，则=( )

A．9 B．5 C． D．

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知识点：3.等差数列的前n项和

A

考点：等差数列的性质．

专题：计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．

分析：利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．

解答：解：∵等差数列{an}，a7=9a3，

∴a1+6d=9（a1+2d），

∴a1=﹣d，

∴==9，

故选：A．

点评：本题考查等差数列的通项及求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

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将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )

A．x= B．x= C．x= D．x=﹣

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知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

A

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．

解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），

再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），

由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．

∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，

故选：A．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题

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某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )

A．4 B． C． D．8

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知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

B

考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，由三视图可得SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，SC=4，BE=2．四边形ABCD为边长为2的正方形，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案．

解答：解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：

其中SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，

又SC=4，BE=2．四边形ABCD为边长为2的正方形，

∴几何体的体积V=V四棱锥+V三棱锥A﹣BSE=×22×4+××2×2×2=+=．

故选B．

点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键

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函数的图象大致是( )

A． B．

C． D．

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知识点：15.函数的图像

A

考点：余弦函数的图象．

专题：数形结合．

分析：由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项．

解答：解：∵函数

∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，

A选项符合题意；

B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；

C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；

D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．

综上，A选项符合题意

故选A

点评：本题考查余弦函数的图象，解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性出现，再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化，由这些规律对照四个选项选出正确答案

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在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若向量和平行，且，当△ABC的面积为时，则b=( )

A． B．2 C．4 D．2+

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知识点：3.平面向量的基本定理及其坐标表示

B

考点：向量在几何中的应用．

分析：利用向量共线的充要条件得a，b，c的关系，利用三角形的面积公式得到a，b，c的第二个关系，利用三角形的余弦定理得到第三个关系，解方程组求出b．

解答：解：由向量和共线知a+c=2b①，

由②，

由c＞b＞a知角B为锐角，③，

联立①②③得b=2．

故选项为B

点评：本题考查向量共线的充要条件，三角形的面积公式及三角形中的余弦定理

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设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是__________．

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知识点：2.任意角的三角函数

-

考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．

专题：三角函数的求值．

分析：依题意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得tanα的值．

解答：解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，

∴cosα=﹣，又α∈（，π），

∴α=，

∴tanα=﹣．

故答案为：﹣．

点评：本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题．

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已知变量x，y满足，则的取值范围是__________．

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知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

[，]

考点：简单线性规划．

专题：数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．

分析：作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．

解答：解：作出所对应的区域（如图阴影），

变形目标函数可得==1+，

表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，

由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；

当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；

故答案为：[，]

点评：本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题

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如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=__________．

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知识点：1.合情推理与演绎推理

5

考点：归纳推理．

专题：规律型；方程思想；简易逻辑．

分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论．

解答：解：由题意，，

∴，

∴a﹣b+c=5，

故答案为：5

点评：本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理

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在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是__________．

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知识点：2.平面向量的线性运算

[﹣1，1]

考点：向量在几何中的应用．

专题：综合题；平面向量及应用．

分析：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．

解答：解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），

∵=λ+μ，

∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），

∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，

∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），

∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）

∵0°≤α≤90°，

∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，

∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，

∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1

∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．

故答案为：[﹣1，1]．

点评：本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．

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已知函数

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．

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知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），

令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，

则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；

（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，

∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，

∴B﹣=﹣，即B=，

又b=1，c=，

∴由正弦定理=得：sinC==，

∵C为三角形的内角，

∴C=或，

当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），

则B=，C=．

考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．

专题：解三角形．

分析：（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，x∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；

（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（）=﹣，求出sin（B﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数．

解答：解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），

令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，

则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；

（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，

∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，

∴B﹣=﹣，即B=，

又b=1，c=，

∴由正弦定理=得：sinC==，

∵C为三角形的内角，

∴C=或，

当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），

则B=，C=．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键

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如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．

（1）求证：PC∥平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

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知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质

证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…

因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…

（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，

所以PA⊥平面BDE．…

因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题：证明题；空间位置关系与距离．

分析：（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；

（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．

解答：证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…

因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…

（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，

所以PA⊥平面BDE．…

因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）

点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

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设数列{an}的前n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1（n∈N*）．

（Ⅰ）求a1，a2，a3；

（Ⅱ）求证：数列{an+2}是等比数列；

（Ⅲ）求数列{n•an}的前n项和Tn．

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知识点：4.等比数列及其性质

（本小题满分13分）

（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．

当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．

当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．

所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…

（Ⅱ）证明：因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立．

两式相减得：2an+1﹣2an=an+1+2．

所以an+1=2an+2（n∈N*），即an+1+2=2（an+2）．…

所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：an+2=5×2n﹣1，即an=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．

则nan=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…

设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为Pn，

则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，

所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，

所以﹣Pn=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，

即Pn=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…

所以数列{n•an}的前n项和Tn=，

整理得，Tn=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…（13分）

考点：数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．

专题：计算题．

分析：（I）根据2an=Sn+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；

（II）因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立，两式相减可得an+1+2=2（an+2），然后根据等比数列定义可得结论；

（III）先求出数列{n•an}的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．

解答：（本小题满分13分）

（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．

当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．

当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．

所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…

（Ⅱ）证明：因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立．

两式相减得：2an+1﹣2an=an+1+2．

所以an+1=2an+2（n∈N*），即an+1+2=2（an+2）．…

所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：an+2=5×2n﹣1，即an=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．

则nan=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…

设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为Pn，

则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，

所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，

所以﹣Pn=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，

即Pn=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…

所以数列{n•an}的前n项和Tn=，

整理得，Tn=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…（13分）

点评：本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．

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“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．