抛物线
上的动点
到焦点的距离的最小值为1，则
．
知识点：数学
2
因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 .（结果用数值表示）．
知识点：数学
120
由题意得，去掉选5名女教师情况即可：
.
已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线
和
．若
的渐近线方程为
，则
的渐近线方程为 ．
知识点：数学
由题意得：
，设
，则
，所以
，即
的渐近线方程为
赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量
和
分别
表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则
= （元）．
知识点：数学
0.2
赌金的分布列为
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
|
|
|
|
|
所以
奖金的分布列为
| 1.4 | 2.8 | 4.2 | 5.6 |
P |
|
|
|
|
所以
所以
=0.2
设
，则“
中至少有一个数是虚数”是“
是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
知识点：数学
B
若
皆是实数，则
一定不是虚数，因此当是虚数时，则“
中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立，当中至少有一个数时虚数，不一定是虚数，如
，即充分性不成立，选B.
记方程①：
，方程②：
，方程③：
，其中
是正实数．当
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
知识点：数学
B
当方程①有实根，且②无实根时，
，从而
，即方程③：
无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根
19、（本题满分12分）如图，在长方体
中，
分别是
的中点．证明
四点共面，并求直线
与平面
所成的角的大小.
知识点：数学
解：如图：
以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为
,
因为
所以
,因此直线
共面，
即
四点共面
设平面
的法向量为
则
,又
,
,故
，解得
.
取
，得平面的一个法向量
又
,
故
因此直线
与平面所成的角的大小为．
本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图，
三地有直道相通，
千米，
千米，
千米.现甲、乙两警员同时从
地出发匀速前往
地，经过
小时，他们之间的距离为
（单位：千米）.甲的路线是
，速度为5千米/小时，乙的路线是
，速度为8千米/小时.乙到达
地后原地等待.设
时乙到达
地.
（1）求
与
的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当
时，求
的表达式，并判断
在
上得最大值是否超过3？说明理由.
知识点：数学
（1）
（2）
，不超过3.
解：（1）
记乙到C时甲所在地为D，则
千米.
在
中，
所以
(千米).
（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时
小时，从A到B总用时
小时．
当
时，
当
时，.
.
所以.
因为
在
上的最大值是
，
在
上的最大值是，
,所以
在
上的最大值是
，不超过3.
本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆
，过原点的两条直线
和
分别于椭圆交于
和
，记得到的平行四边形
的面积为
.
（1）设
，
，用
的坐标表示点
到直线
的距离，并证明
；
（2）设与的斜率之积为
，求面积
的值.
知识点：数学
（1）详见解析（2）
.
证明：
（1）直线
点C到
的距离为
所以
（2）设
设
由
，得
.同理
由（1），
，
整理得
22、已知数列
与
满足
，
（1）若
，且
，求数列
的通项公式；
（2）设
的第
项是最大项，即
，求证：数列
的第项是最大项；
（3）设
，求
的取值范围，使得有最大值
与最小值
，且
.
知识点：数学
（1）
（2）详见解析（3）
解：（1）由
，得
，
所以
是首项为1，公差为6的等差数列，
故
的通项公式为
证明：（2）由
，得
.
所以
为常数列，
即
.
因为
，所以
，即
.
故
的第
项是最大项.
解：（3）因为
，所以
，
当
时， 
=2
当
时， 
，符合上式.
所以
.
因为
，所以
.
①当
时，由指数函数的单调性知，
不存在最大、最小值；
②当
时，的最大值为3，最小值为-1，而
；
③当
时，由指数函数的单调性知，的最大值
，最小值
，由
及
，得
.
综上，
的取值范围是
.
对于定义域为
的函数
，若存在正常数
，使得
是以
为周期的函数，则称
为余弦周期函数，且称
为其余弦周期.已知
是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设
单调递增，
，
.
（1）验证
是以
为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设
．证明对任意
，存在
，使得
；
（3）证明：“
为方程
在
上的解”的充要条件是“
为方程
在
上有解”，并证明对任意
都有
.
知识点：数学
（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析
证明：（1）易见
的定义域为
，
对任意
，
，
所以
，
即
是以
为余弦周期的余弦周期函数。
（2）由于
的值域为
，所以对任意
，
都是一个函数值，即有
，使得
.
若
，则由
单调递增得到
，与
矛盾，所以
.同理可证
.故存在
使得
.
（3）若
为
在
上的解，则
，且
，
，即
为方程
在
上的解.
同理，若
为方程在上的解，则
为该方程在
上的解.
以下证明最后一部分结论.
由（2）所证知存在
,使得
.
而
是函数
的单调区间，
与之前类似地可以证明：
是
=-1在
上的解当且仅当
是
在
上的解，从而
=
在与
上的解的个数相同.
故
对于
而
，故
.
类似地，当
时，有
.
结论成立.
．若集合
，则
= ．
满足
，其中
为虚数单位，则
= ．
，解为
，则
．
，且其体积为
，则
．
，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
的解为 ．
为
的反函数，则
的最大值为 ．
的展开式中，
项的系数为 （结果用数值表示）．
．若存在
满足
，
的最小值为 ．
中，
，
为边
上的点， 
与
的面积分别为2和4．过
作
于
， 
于
，则
．
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐标为（ ）
B．
C. 
D． 
是直线
与圆
在第一象限的交点，则极限
（ ）
B． 
C．1 D．2
