复数z=(1+2i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 ．
知识点：3.复数代数形式的四则运算
5
由复数乘法可得z=(1+2i)(3-i)=5+5i，则z的实部是5．
将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
知识点：2.古典概型
；
将先后两次点数记为
，则共有
个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有
六种，则点数之和小于10共有30种，概率为
．
已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1+a22=－3，S5=10，则a9的值是 ．
知识点：3.等差数列的前n项和
20
设公差为
，则由题意可得
，
，解得
，
，则
．
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．
知识点：1.椭圆
由题意得
，直线
与椭圆方程联立可得
，
，由
可得
，
，
，则
，由
可得
，则
．
设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，
其中a∈R，若
，则f(5a)的值是 ．
知识点：5.奇偶性与周期性
由题意得
，
，
由
可得
，则
，
则
．
已知实数x，y满足
则x2+y2的取值范围是 ．
知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划
；
在平面直角坐标系中画出可行域如下
为可行域内的点到原点距离的平方．
可以看出图中
点距离原点最近，此时距离为原点
到直线
的距离，
，则
，
图中
点距离原点最远，
点为
与
交点，则
，
则
．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
，
，则
的值是 ．
知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）
令
，
，则
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由
，
可得
，
，因此
，
因此
．
在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ．
知识点：4.和角公式与倍（半）角公式
8
由
，
，
可得
（*），
由三角形
为锐角三角形，则
，
在（*）式两侧同时除以
可得
，
又
(#)，
则
，
由可得
，
令
，由
为锐角可得
，
由(#)得
，解得
，
，由
则
，因此
最小值为
，
当且仅当
时取到等号，此时
，
，
解得
（或
互换），此时
均为锐角．
（本小题满分14分）
在△ABC中，AC=6，
，
．
⑴求AB的长；
⑵求
的值．
知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）
解（1）因为
所以
由正弦定理知
，所以
（2）在三角形ABC中
，所以
于是
又
，故
因为
，所以
因此
（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
求证：
(1) 直线DE∥平面A1C1F；
(2) 平面B1DE⊥平面A1C1F．
知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质
.证明：（1）在直三棱柱
中，
在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.
所以
，于是
又因为DE
平面
平面
所以直线DE//平面
（2）在直三棱柱中，
因为
平面
，所以
又因为
所以
平面
因为
平面，所以
又因为
所以
因为直线
，所以
（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的
倍．
(1) 若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少；
(2) 若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？
知识点：3.空间几何体的表面积与体积
解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD- A1B1C1D1的体积
所以仓库的容积
V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0<h<6,OO1=4h . 连结O1B1.
因为在
中，
所以
，即
于是仓库的容积
，
从而
.
令
，得
或
（舍）.
当
时，
，V是单调增函数；
当
时，
，V是单调减函数.
故
时，V取得极大值，也是最大值.
因此，当
时，仓库的容积最大.
（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2，4)．
(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线
的方程；
(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得
，求实数t的取值范围．
知识点：4.直线与圆的位置关系
解：圆M的标准方程为
，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设
.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以
，于是圆N的半径为
，从而
，解得
.
因此，圆N的标准方程为
.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为
.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以
，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为
,所以
……①
因为点Q在圆M上，所以
…….②
将①代入②，得
.
于是点
既在圆M上，又在圆
上，
从而圆与圆没有公共点，
所以
解得
.
因此，实数t的取值范围是
.
（本小题满分14分）
已知函数f(x)=ax+bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1) ．
(1) 设a=2，
．
①求方程f(x)=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x) -6恒成立，求实数m的最大值；
(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点，求ab的值．
知识点：13.函数与方程
（1）因为
，所以
.
①方程
，即
，亦即
，
所以
，于是
，解得
.
②由条件知
.
因为
对于
恒成立，且
，
所以
对于恒成立.
而
，且
，
所以
，故实数
的最大值为4.
（2）因为函数
只有1个零点，而
，
所以0是函数
的唯一零点.
因为
，又由
知
，
所以
有唯一解
.
令
，则
，
从而对任意，
，所以
是
上的单调增函数，
于是当
，
；当
时，
.
因而函数
在
上是单调减函数，在
上是单调增函数.
下证
.
若
，则
，于是
，
又
，且函数在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为
. 因为
，所以
，又
，所以
与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若
，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是
，故
，所以
.
（本小题满分14分）
记
．对数列
（
）和U的子集T，若
，定义
；
若
，定义
．例如：
时，
．
现设（）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，ST=30．
⑴ 求数列{an}的通项公式；
⑵ 对任意正整数k（1≤ k ≤100），若
，求证：
；
⑶ 设
，
，
，求证：
．
知识点：5.等比数列的前n项和
（1）由已知得
.
于是当
时，
.
又
，故
，即
.
所以数列
的通项公式为
.
（2）因为
，
，
所以
.
因此，
.
（3）下面分三种情况证明.
①若
是
的子集，则
.
②若是的子集，则
.
③若不是的子集，且不是的子集.
令
，
则
，
，
.
于是
，
，进而由
，得
.
设
是
中的最大数，
为
中的最大数，则
.
由（2）知，
，于是
，所以
，即
.
又
，故
，
从而
，
故
，所以
，
即
.
综合①②③得，
.
[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．
求证：∠EDC=∠ABD
知识点：1.几何证明选讲
证明：在
和
中，
因为
为公共角，
所以
∽
，于是
.
在
中，因为
是
的中点，
所以
，从而
.
所以
.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
（t为参数），椭圆C的参数方程为
（
为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
知识点：2.坐标系与参数方程
解：椭圆
的普通方程为
，将直线
的参数方程
，代入，得
，即
，解得
，
.
所以
.
（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②求p的取值范围.
知识点：3.抛物线
解：（1）抛物线
的焦点为
由点在直线
上，得
，即
所以抛物线C的方程为
（2）设
，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线
对称，所以直线垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为
，则可设其方程为
①由
消去
得
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而
，化简得
.
方程（*）的两根为
，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为
在直线
上
所以
，即
由①知
，于是
，所以
因此
的取值范围为
的焦距是 ．
的定义域是 ．
，矩阵B的逆矩阵
，求矩阵AB．
，
，
，求证：
．
