知识点：3.集合的基本运算

B

【考点】集合关系中的参数取值问题．

【专题】计算题；探究型．

【分析】先化简集合B，然后利用B∩（∁RA）≠∅，求实数a的取值范围．

【解答】解：集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}={x|﹣3＜x＜5}，

∴∁UA═{x|x≤a}，

要使B∩（∁RA）≠∅，

则a＞﹣3．

故选B．

【点评】本题主要考查集合关系的应用，比较基础．

知识点：10.对数函数及其性质

D

【考点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的单调性与特殊点．

【分析】由已知中偶函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，根据偶函数的定义及复合函数单调性“同增异减”的原则，我们可以求出b值及a的范围，进而根据函数的单调性，得到答案．

【解答】解：∵函数f（x）=loga|x﹣b|为偶函数

∴f（﹣x）=f（x）

即loga|﹣x﹣b|=loga|x﹣b|

则|﹣x﹣b|=|x﹣b|

故b=0

则f（x）=loga|x|

u=|x|在区间（﹣∞，0）上为减函数，在区间（0，+∞）上为增函数，

而函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，

根据复合函数“同增异减”的原则，则函数y=logau为减函数

则0＜a＜1

则函数f（x）=loga|x﹣b|在0，+∞）上是减函数，

则1＜a+1＜2=b+2

故f（a+1）＞f（b+2）

故选D

【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，对数函数的单调性与特殊点，其中根据偶函数及复合函数单调性“同增异减”的原则，求出b值及a的范围，及函数的单调性，是解答本题的关键．

知识点：3.集合的基本运算

B

【考点】交集及其运算．

【专题】集合．

【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．

【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，

∴A∩B={﹣1，0}．

故选B

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

知识点：8.指数函数及其性质

A

【考点】指数函数的图像与性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由指数函数的单调性可得a﹣1＞1，解不等式可得．

【解答】解：∵指数函数y=（a﹣1）x是增函数，

∴a﹣1＞1，解得a＞2

故选：A

【点评】本题考查指数函数的单调性，属基础题．

知识点：3.集合的基本运算

C

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】由全集U={x∈N+|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．

【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，

∴A∪B={1，3，5}，

∵U={x∈N+|x＜6}={1，2，3，4，5}，

∴∁U（A∪B）={2，4}，

故选C．

【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．

知识点：5.奇偶性与周期性

C

【考点】余弦函数的单调性．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】由“奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β＞，转化为α＞﹣β，两边再取正弦，可得sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．

【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，

∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，

∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，

又α、β为锐角三角形的两内角，

∴α+β＞，

∴α＞﹣β，

∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，

∴f（sinα）＜f（cosβ）．

故选C．

【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．

知识点：3.集合的基本运算

D

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．

【解答】解：当x=0时，z=0，

当x=1，y=2时，z=6，

当x=1，y=3时，z=12，

故所有元素之和为18，

故选D

【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

知识点：10.对数函数及其性质

A

【考点】对数函数的图像与性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】先根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数，再根据奇函数的性质可得函数f（x）的图象关于原点对称．

【解答】解：∵函数f（x）=log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．

再根据 f（﹣x）=log=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，

故选：A．

【点评】本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，属于基础题．

知识点：5.奇偶性与周期性

B

【考点】函数奇偶性的性质；函数的表示方法．

【分析】设x＜0，则﹣x＞0，利用当x≥0时f（x）的解析式，求出f（﹣x）的解析式，再利用奇函数的定义，求出x＜0时的解析式，综合在一起，可得在R上f（x）的表达式．

【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，

∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，

又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），

∴﹣f（x）=x2+2x，

∴f（x）=﹣x2﹣2x，

故则在R上f（x）的表达式是 x（|x|﹣2），

故选B．

【点评】本题考查利用奇函数的定义求函数的解析式的方法．

知识点：2.定义域与值域

B

【考点】函数的值域．

【分析】进行变量分离y==﹣1，若令t=1+x2则可变形为y=（t≥1）利用反比例函数图象求出函数的值域．

【解答】解法一：y==﹣1．∵1+x2≥1，

∴0＜≤2．∴﹣1＜y≤1．

解法二：由y=，得x2=．

∵x2≥0，∴≥0，解得﹣1＜y≤1．

故选B

【点评】此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法，应注意理解并加以运用．

解法三：令x=tanθ（﹣＜θ＜），则y==cos2θ．

∵﹣π＜2θ＜π，

∴﹣1＜cos2θ≤1，即﹣1＜y≤1．

知识点：15.函数的图像

A

【考点】余弦函数的图象．

【专题】数形结合．

【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项．

【解答】解：∵函数

∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，

A选项符合题意；

B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；

C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；

D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．

综上，A选项符合题意

故选A

【点评】本题考查余弦函数的图象，解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性出现，再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化，由这些规律对照四个选项选出正确答案．

知识点：3.集合的基本运算

B

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】利用指数函数的性质求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出A与B的公共元素，即可求出两集合的交集．

【解答】解：由集合B中的不等式变形得：20≤2x＜22，

解得：0≤x＜2，

∴B=[0，2），又A={﹣1，1}，

则A∩B={1}．

故选：B

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

知识点：5.行列式

1

【考点】反函数；二阶矩阵．

【专题】常规题型；计算题．

【分析】本题由矩阵得到f（x）的表达式，再由反函数的知识算出．

【解答】解：由f（x）==2x﹣1，由反函数的性质知2x﹣1=1，解得x=1所以f﹣1（1）=1．

故答案为：1．

【点评】原函数的图象与反函数的图象关于y=x对称，亦即b=f（a）与a=f﹣1（b）是等价的．

知识点：2.定义域与值域

{x|x＞}

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域即可．

【解答】解：∵2x﹣1＞0，

∴x＞，

∴函数的定义域是：{x|x＞}，

故答案为：：{x|x＞}．

【点评】本题考察了函数的定义域问题，考察对数函数的性质，是一道基础题．

知识点：12.绝对值函数与分段函数及其他函数

1

【考点】函数的值．

【专题】计算题．

【分析】根据函数解析式应先代入下面的式子求出f（5）的值，再代入对应的解析式求出f（f（5））的值．

【解答】解：由题意知，f（x）=，

则f（5）=log24=2，

∴f（f（5））=f（2）=22﹣2=1．

故答案为：1．

【点评】本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．

知识点：2.定义域与值域

{2}

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】直接利用开偶次方，被开方数非负，化简求解即可．

【解答】解：要使函数有意义，

则，解得：x=2．

函数的定义域为：{2}．

故答案为：{2}．

【点评】本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．

知识点：8.指数函数及其性质

【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．

【专题】计算题．

【分析】由已知中指数函数，当x∈（0，+∞）时，有y＞1，我们易判断出底数的取值范围，进而判断出a的取值范围，然后根据函数的单调性，将不等式转化为一个二次不等式，即可得到答案．

【解答】解：∵在x∈（0，+∞）时，有y＞1，∴，

于是由loga（x﹣1）≤loga（x2+x﹣6），得，

解得，

∴不等式的解集为．

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性及对数函数的单调性，其中根据已知条件，判断出a的取值范围，是解答本题的关键．

知识点：2.定义域与值域

【考点】指数函数综合题．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）由4+3x﹣x2=﹣（x+1）（x﹣4）≥0 可求得x的范围，即为函数的定义域．

（2）令t=4+3x﹣x2，由﹣1≤x≤4，求得t的范围，可得的范围，从而求得的范围，即为函数的值域．

（3）由于二次函数t=4+3x﹣x2 的对称轴为x=，且﹣1≤x≤4，由此可得函数的增区间、减区间．

【解答】解：（1）由4+3x﹣x2=﹣（x+1）（x﹣4）≥0 可得﹣1≤x≤4，故函数的定义域为[﹣1，4]．

（2）令t=4+3x﹣x2，由﹣1≤x≤4，可得 0≤t≤，0≤≤，1≤≤，而 =9，∴1≤≤9，

∴1≤f（x）≤9，故函数的值域为 ．

（3）由于二次函数t=4+3x﹣x2 的对称轴为x=，且﹣1≤x≤4，故函数的增区间为[﹣1，]，减区间为[，4]．

【点评】本题主要考查指数型复合函数的定义域、值域以及单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．

知识点：3.集合的基本运算

【考点】交集及其运算．

【专题】集合．

【分析】（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集，并集即可；

（Ⅱ）根据A﹣B的定义，求出A﹣B与B﹣A即可．

【解答】解：（Ⅰ）由A中的不等式变形得：3﹣1＜3x＜32，

解得：﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），

由B中的不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，

∴B=（1，+∞），

则A∩B=（1，2）；A∪B=（﹣1，+∞）；

（Ⅱ）∵A=（﹣1，2），B=（1，+∞），A﹣B={x|x∈A且x∉B}，

∴A﹣B=（﹣1，1]；B﹣A=[2，+∞）．

【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及新定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

知识点：3.单调性与最大（小）值

【考点】函数与方程的综合运用．

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】（1）抽象函数常用赋值法求解；

（2）=﹣=﹣．按照单调性的定义，任取0＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=﹣=+﹣1=﹣，

由于＞4，可得﹣＞0，即可证明．

（3）解抽象函数的不等式，常化为f（m）＞f（n）的形式，然后结合单调性求解．

【解答】（1）解：，∴，

∴，

解得f（2）=1．

（2）证明：=﹣=﹣．

任取0＜x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）=﹣=﹣=+﹣1=﹣，

∵＞4，∴﹣＞0，

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．

∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）﹣=1+1﹣=．

f（x）+f（x+3）=f（x2+3x）+＞2．

∴，

∴，解得x∈（1，+∞），

∴原不等式的解集为（1，+∞）．

【点评】本题考查了抽象函数的求值与单调性、不等式的性质，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．

知识点：7.指数与指数幂的运算

【考点】有理数指数幂的化简求值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质即可得出．

【解答】解：（1）原式=﹣1﹣+=﹣1﹣+=．

（2）原式=•==．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

知识点：6.二次函数

【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）由指数函数的单调性，即可求得t的最值；

（2）令t=4x，（≤t≤16）原式变为：y=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4，求出对称轴t=1，讨论和区间的关系，即可得到所求最值．

【解答】解：（1）由t=4x在[﹣1，2]是单调增函数，

即有x=2时，t取得最大值为16，x=﹣1时，t取得最小值为；

（2）令t=4x，（≤t≤16）原式变为：

y=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4，

当t=1时，此时x=1，f（x）取得最小值4；

当t=16时，此时x=2，f（x）取得最大值229．

【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．