如图,平面内的两个单位向量,它们的夹角是60°,与、向量的夹角都为,且||=,若,则值为( )
A.2 B.4 C. D.
知识点:2.平面向量的线性运算
B
6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 ( )
A. B.
C.4 D.2
知识点:2.空间几何体的三视图和直观图
A
若直角坐标系中有两点满足条件:(1)分别在函数、的图象上,(2)关于点(1,0)对称,则称是一个“和谐点对”。函数的图象与函数的图象中“和谐点对”的个数是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
知识点:15.函数的图像
A
在平面几何里有射影定理:设△ABC的两边AB⊥AC,D是A点在BC上的射影,则AB2=BD·BC.拓展到空间,在四面体A—BCD中,DA⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在面BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间关系为 .
知识点:1.合情推理与演绎推理
若函数同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数,.当时,,则称此函数为D内的等射函数,设则:
(1) 在(-∞,+∞)的单调性为 (填增函数或减函数);(2)当为R内的等射函数时,的取值范围是 .
知识点:3.导数在研究函数中的应用
增函数,
(本小题满分12分)在中,分别为角的对边,△ABC的面积S满足。(1)求角的值; (2)若,设角的大小为用表示,并求的取值范围.
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
(1)在中,由,得……………3分
∵ ∴………………………………5分
(2)由及正弦定理得:,………………………………7分
∴…………………………………9分
∵ ∴ ∴………………………………………10分
∴,,即 ……………………………12分
(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,侧面,均为正方形,∠,点是棱的中点.
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
知识点:5.直线、平面平行的判定及其性质
(Ⅰ)证明:因为侧面,均为正方形,
所以,
所以平面,三棱柱是直三棱柱.……………………1分
因为平面,所以, ……2分
又因为,为中点,
所以. ………………………3分
因为,
所以平面. …………………4分
(Ⅱ)证明:连结,交于点,连结,
因为为正方形,所以为中点,
又为中点,所以为中位线,
所以, …………………6分
因为平面,平面,
所以平面. ……………………8分
(Ⅲ)解: 因为侧面,均为正方形, ,
所以两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系.
设,则.
, …………………………………9分
设平面的法向量为,则有
取,得. …………………………10分
又因为平面,所以平面的法向量为,
设二面角的平面角为,则
∴ …………………11分
所以,二面角的余弦值为. …………………………………12分
(本小题满分13分)湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻x的关系为,其中a是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作。
(Ⅰ)令,求t的取值范围;
(Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?
知识点:14.函数的应用问题
(本小题满分13分)已知数列满足:是数列的前n项和.数列前n项的积为,且
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)是否存在常数a,使得成等差数列?若存在,求出a,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)是否存在,满足对任意自然数时,恒成立,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。
知识点:7.数列的通项
(Ⅰ)由题知,∴,∴
即数列隔项成等差数列, …………………………1分
又
∴当n为奇数时,,
当n为偶数时, …………………………2分
∴对一切 ……………………………………………3分
又,当时,且时满足上式,
∴对一切 ……………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列成等差数列,∴
∴…………………………7分
若存在常数a,使得成等差数列,则在时恒成立
即
∴不存在常数a 使数列成等差数列 …………………………9分
(Ⅲ)(3)存在m=4使得当时,恒成立,
即当时,,下面用用数学归纳法证明:略…………………………13分
(本小题满分13分)设函数,其中.
( I )若函数图象恒过定点P,且点P关于直线的对称点在的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当时,设,讨论的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线上是否存在两点P、Q,使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
知识点:3.导数在研究函数中的应用
( I ) 令,则,即函数图象恒过定点P (2,0)……(1分)
∴P (2,0)关于直线的对称点为(1,0) ………………………………(2分)
又点(1,0)在的图象上,∴,∴………………(3分)
(Ⅱ) ∵且定义域为……………………(4分)
∴……(5分)
∵x>0,则x+1>0
∴当m≥0时,此时在(0,+∞)上为增函数。……………………(6分)
当m<0时,由得,由得
∴在上为增函数,在上为减函数。……………………………(7分)
综上,当m≥0时,在(0,+∞)上为增函数。
当m<0时,在上为增函数,在上为减函数。………………(8分)