知识点：3.集合的基本运算

C

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．

【分析】利用不等式性质和集合定义求解．

【解答】解：（1）∵集合A={x|1＜x＜4}，

集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，

∴A∩B={x|1＜x＜3}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．

知识点：3.复数代数形式的四则运算

D

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题；方程思想；数系的扩充和复数．

【分析】直接利用复数的除法与乘方运算法则化简求解即可．

【解答】解：复数==i（1+i）=﹣1+i．

故选：D．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．

知识点：7.全称量词与存在量词

B

【考点】命题的否定．

【专题】计算题；规律型；简易逻辑．

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P是∃x0∈R，e﹣x0﹣1≤0．

故选：B．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

知识点：12.绝对值函数与分段函数及其他函数

C

【考点】抽象函数及其应用．

【专题】构造法；函数的性质及应用．

【分析】根据条件可知，对数函数符合条件，f（xy）=f（x）+f（y），再给出证明，最后根据函数的单调性确定选项．

【解答】解：对数函数符合条件f（xy）=f（x）+f（y），证明如下：

设f（x）=logax，其中，x＞0，a＞0且a≠1，

则f（xy）=logaxy=logax+logay=f（x）+f（y），

即对数函数f（x）=logax，符合条件f（xy）=f（x）+f（y），

同时，f（x）单调递减，则a∈（0，1），

综合以上分析，对数函数f（x）=符合题意，

故答案为：C．

【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数的运算和函数模型的确定，以及对数的运算性质，属于基础题．

知识点：1.算法与程序框图

B

【考点】程序框图．

【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．

【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．

【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；

m=30，n=42，30÷42=0，余数是30，r=30，不满足条件r=0，

m=42，n=30，42÷30=1，余数是12，r=12，不满足条件r=0，

m=30，n=12，30÷12=2，余数是6，r=6，不满足条件r=0，

m=12，n=6，12÷6=2，余数是0，r=0，满足条件r=0，退出循环，输出m的值为12．

故选：B．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

A

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】计算题；方程思想；转化思想；三角函数的图像与性质．

【分析】化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后平移平移关系判断选项即可．

【解答】解：函数y=sin4x﹣cos4x=sin（4x﹣），

∵sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，

∴为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象向右平移个单位．

故选：A．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移，考查计算能力．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

C

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．

【分析】该几何体为长方体切去一个三棱锥剩下的几何体．

【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1切去一个三棱锥B1﹣A1BC1剩下的几何体．

∴V=4×3×3﹣=30．

故选：C．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图与体积计算，属于基础题．

知识点：3.几何概型

B

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计．

【分析】作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量．

【解答】解：设两串彩灯分别在通电后x秒，y秒第一次闪亮，

则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC，

作出直线x﹣y=3和直线y﹣x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF，

∴P===．

故选B．

【点评】本题考查了几何概型的概率计算，作出对应的平面区域是关键．

知识点：3.抛物线

C

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=0，消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，

点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），

x=ty+m代入y2=4x，可得y2﹣4ty﹣4m=0，

根据韦达定理有y1•y2=﹣4m，

∵OA⊥OB，

∴•=0，

∴x1•x2+y1•y2=0，从而（y1•y2）2+y1•y2=0，

∵点A，B位于x轴的两侧，

∴y1•y2=﹣16，故m=4．

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，

又F（1，0），

∴S△ABO+S△AFO=×4×（y1﹣y2）+×y1=y1+

≥8，

当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8，

故选：C．

【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：

1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．

2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．

3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

B

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．

【专题】数形结合；构造法；转化法；导数的概念及应用．

【分析】根据题意构造函数g（x）=xf（x），由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出

g（x）是偶函数，将不等式进行转化，由图象求出不等式成立时x的取值范围．

【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），

∵当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，

∴则当x＜0时，g′（x）＞0，

∴函数g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上为增函数，

∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，

由f（1）=0得，g（1）=0，函数g（x）的图象大致如右图：

∵不等式f（x）＜0⇔＜0，

∴或，

由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，

∴使得f（x）＜0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），

故选：B．

【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．

知识点：3.二项式定理

﹣90

【考点】二项式系数的性质．

【专题】对应思想；转化法；二项式定理．

【分析】根据二项式展开式的通项公式，确定r的值，即可求出含x3的项的系数．

【解答】解：（3﹣x）5的展开式中，通项公式是Tr+1=•35﹣r•（﹣1）r•xr，

令r=3，得含x3的项的系数是•32•（﹣1）3=﹣90．

故答案为：﹣90．

【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】两角和与差的正弦函数．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值．

【解答】解：∵已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，

∴sinα==，sin（α+β）==，

则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα

=•﹣（﹣）•=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

13

【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．

【专题】计算题．

【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

而z=x2+y2，

表示可行域内点到原点距离OP的平方，

点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大

当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，

故答案为：13

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

9

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．

【分析】用表示出，代入数量积计算．

【解答】解：∵ =3， =2，∴ ==， =， ==﹣=﹣，

∴==， ==．

•=（）•（）=﹣=×82﹣×32=9．

故答案为：9．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．

知识点：2.集合间的基本关系

①②③④

【考点】命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断；复数的基本概念．

【专题】简易逻辑；推理和证明；数系的扩充和复数．

【分析】根据已知中数域的概念，逐一分析5个命题的真假，综合讨论结果，可得答案．

【解答】解：由已知中（1）S含有一个不等于0的数；

（2）∀a，b∈S，a+b，a﹣b，ab∈S；

（3）∀a，b∈S，且b≠0，∈S，那么就称S是一个数域．

令a=b≠0，

则a﹣b=0∈S； =1∈S，故①正确；

na∈S，n∈Z，故②正确；

复数集C满足3个条件，故复数集是数域，故③正确；

S={a+b|a，b∈Q，}满足3个条件，故S是数域，故④正确；

S={a+bi|a，b∈Z}不满足条件（3），故S不是数域，故⑤错误；

故答案为：①②③④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数域的概念，正确理解数域的概念，是解答的关键．

知识点：6.数列的求和

【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．

【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可知an+1+1=2（an+1），进而可知数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；

（2）通过（1）可知bn=n•2n﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论．

【解答】解：（1）∵an+1=2an+1，

∴an+1+1=2（an+1），

又∵a1=1，

∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，

∴an+1=2n，

∴an=﹣1+2n；

（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n•2n=n•2n﹣1，

∴Tn=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，

2Tn=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，

错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n

=﹣n•2n

=﹣1﹣（n﹣1）•2n，

于是Tn=1+（n﹣1）•2n．

【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

知识点：9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．

【分析】（1）求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；

（2）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．

【解答】解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于文学院中没有学生入选代表队）的概率为： =，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1﹣=；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，

则X的可能取值为：1，2，3，

P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．

X的分布列：

和数学期望EX=1×+2×+3×=2．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．

【分析】（1）利用二倍角公式化简f（x）；

（2）求出A，根据余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式即可．

【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）．

∴f（x）的最小正周期T==π，f（x）的最大值是．

（2）∵f（）=sin（A﹣）+=1，∴sin（A﹣）=，∴A=．

∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12．

∴S==bc≤3．

∴三角形ABC面积的最大值是3．

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，解三角形，属于中档题．

知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

【专题】数形结合；空间角；立体几何．

【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE．然后利用三角形中位线的性质可得OE∥SA，再由线面平行的判定定理证得SA∥平面BDE；

（2）由SD=DC，E是SC的中点可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到BC⊥平面SDC，从而得到BC⊥DE，进一步得到SB⊥DE，结合已知EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论；

（3）根据二面角的定义得到∠EFD是二面角C﹣SB﹣D的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

【解答】（1）证明：如图，

连接AC交BD于点O，连接OE．

∵点O、E分别为AC、SC的中点，

∴OE∥SA，又OE⊂平面BDE，SA⊄平面BDE，

∴SA∥平面BDE；

（2）证明：∵SD=DC，E是SC的中点，∴DE⊥SC，

又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，

∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥平面SDC，

∴BC⊥DE，

又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，

又SB⊂平面SBC，∴SB⊥DE，

又EF⊥SB，

EF∩ED=E，

∴SB⊥平面EFD；

（3）∵EF⊥SB，SB⊥平面EFD，

∴∠EFD是二面角C﹣SB﹣D的平面角，

设AD=1，则SD=CD=2，

则SC=2，SB==3，BD===，DE=，

在三角形SDB中，SB•DF=SD•BD，即DF===，

在三角形SBC中，sinCSB=，即EF=SE=，

在三角形DEF中，cosEFD=====，

即二面角C﹣SB﹣D的余弦值是．

【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大．

知识点：4.直线与圆的位置关系

【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）通过设P（x，y）、动圆P的比较为r，利用圆与圆的位置关系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5﹣r，进而化简可知动圆圆心P的轨迹是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点、长轴长为6的椭圆，计算即得结论；

（Ⅱ）通过（I）可知A1（﹣3，0）、A2（3，0），通过设M（x，y），利用+=及k1k2=•化简计算即得结论；

（Ⅲ）通过设过点（2，0）的直线l方程为x=my+2，并与曲线C方程联立，利用韦达定理及N（x1+x2，y1+y2）在曲线C上化简计算即得结论．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），

设P（x，y），动圆P的比较为r，则|PF1|=1+r，|PF2|=5﹣r，

∴|PF1|+|PF2|=6，

∴动圆圆心P的轨迹是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，

则b2=a2﹣c2=9﹣1=8，

于是曲线C的方程为： +=1；

（Ⅱ）由（I）可知A1（﹣3，0），A2（3，0），

设M（x，y），则+=1，

于是k1k2=•

=

=

=﹣；

（Ⅲ）结论：在曲线C上存在点N，使+=．

理由如下：

设过点（2，0）的直线l方程为：x=my+2，

联立直线l与曲线C的方程，消去x，整理得：

（9+8m2）y2+32my﹣40=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，

∵+=，

∴N（x1+x2，y1+y2）在曲线C上，

∴+=1，

又∵x1+x2=m（y1+y2）+4=4﹣=，

∴•+•=1，

整理得：9+8m2=16，

解得：m=±，

于是在曲线C上存在点N，使+=．

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的概念及应用；导数的综合应用．

【分析】（1）求导f′（x）=，从而可得f（1）=e，f′（1）=﹣e，从而确定切线方程；

（2）求导f′（x）=（x﹣2），从而判断导数的正负以确定函数的单调性；

（3）求导f′（x）=（x﹣2），从而可得h（x）=ex+kx在（0，2）内存在两个零点，从而化为y=ex与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，从而利用数形结合求解．

【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=，f′（x）=，

故f（1）=e，f′（1）=﹣e，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=﹣e（x﹣1），

即切线方程为：ex+y﹣2e=0；

（2）f（x）=+k（+lnx）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=+k（﹣+）=（x﹣2），

∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴＞0，

故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；

故函数f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；

（3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2），

∵＜0在（0，2）上恒成立，

又∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，

∴h（x）=ex+kx在（0，2）内存在两个零点，

∴y=ex与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，

作y=ex与y=﹣kx的图象如图，

相切时，设切点为（x，ex），

则=ex，

故x=1；

故k1=e；

k2==，

故e＜﹣k＜，

故﹣＜k＜﹣e．

【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了导数的几何意义的应用．