已知命题
，命题
:
.下面结论正确的是（ ）
A．命题“
”是真命题 B. 命题“
”是假命题
C．命题 “
”是真命题 D．命题“
”是假命题
知识点：7.全称量词与存在量词
D
略
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
给出以下命题：
①当
时，
；
②函数
有五个零点；
③若关于的方程
有解，则实数
的取值范围是
；
④
恒成立.
其中，正确命题的序号是 .
知识点：5.奇偶性与周期性
①④
略
设
是单位圆和
轴正半轴的交点，
，
是单位圆上两点，
是坐标原点，且
，
, 
.
（1）若点
的坐标是 
其中
，求
的值.
（2）设
, 函数
，求
的值域．
知识点：2.任意角的三角函数
(1)
=
.(2) 
的值域是
解析： 解：（1）由
，
. …..3分
所以=. …..6分
（2）由已知有
, …..8分
因为
，则
，所以
.
故的值域是. …..12分
略
已知函数
满足
，对任意
都有
，且
．
（1）求函数
的解析式.
（2）是否存在实数
，使函数
在
上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
知识点：1.函数的概念及其表示
(1)
(2) 
解析：解：（1）由
满足
，对任意
都有
，且
，所以函数的图像对称轴为直线
，任意
都有
即
对任意成立，
(2)由（1）知
，其定义域为R令
要使函数
在
上为减函数，只需要函数
在上为增函数，由指数函数的单调性，有
，解得
，故存在实数a,当
时，函数
在上为减函数
【答案】
略
如图，已知在直四棱柱
（侧棱垂直底面的棱柱）中，
，
，
．
（1）求证：
平面
.
（2）求
与平面
所成的角的的正弦值．
知识点：10.空间角与距离
解析： 解法一：
（1）设
是
的中点，连结
，则四边形
为正方形，
．故
，
，
，
，即
．……….. 2分
又
，
……..3分
平面
， …….5分
（2）由（1）知
平面，
又
平面
，
，
取
的中点
, 连结
，又
，
则
．
取
的中点
，连结
，则
,
.平面
，
则过
向平面引垂线,垂足必落在
上
为直线
与平面
所成的角……8分
连结
，在
中，
，
，
取
的中点
，连结
，
，
在
中，
，
，
． ………..10分
．
与平面所成的角的的正弦值为
． ………..12分
解法二：
（1）以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
,
. ….. 2分
,
…..3分
又因为
所以，平面
. ………..5分
（2）设
为平面
的一个法向量．
由
，
，
得
取
，则
． ……….8分
又
…….9分
设与平面所成的角为
，则
,
即与平面所成的角的的正弦值
． ………..12分
略
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点
的距离是
，从点
沿海岸正东
处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为
，步行的速度是
，用（单位：
）表示他从小岛到城镇的时间，
（单位：
）表示此人将船停在海岸处距
点的距离。
（1）请将表示为
的函数
.
（2）将船停在海岸处距点
多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少?
解：
知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）
(1)
(2) 
时,
最小,且最短时间为
.解析：解：（1）
………5分
（2）
………7分
,
令
得. ………9分
当
时,
,
单调递减; 当
时,
,单调递增. ……11分
故当时,最小,且最短时间为. ………13分
略
（1）用导数证明: 若
,则
.
（2）若
对恒成立，求
的最大值与
的最小值．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
解：（1）设f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f'(x) = 1 - cosx > 0 g'(x) = (1/cos²x) - 1 > 0 由
于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数 所以f(x) > f(0) = 0，g(x) > g(0) = 0 ==> x - sinx
> 0 ， tanx - x > 0 => x > sinx ，tanx > x ∴sinx < x < tanx，x∈(0，π/2) ………6分
（2）当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”，“<b”等价于“sin x－bx<0”．
令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.
讨论：
当c≤0时，g(x)>0对任意x∈恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间上单
调递减，从而g(x)<g(0)＝0对任意x∈恒成立． ………8分
当0<c<1时，存在唯一的x0∈使得g′(x0)＝cos x0－c＝0.
g(x)与g′(x)在区间上的情况如下：
x | (0，x0) | x0 | |
g′(x) | ＋ | 0 | － |
g(x) | 递增 |
| 递减 |
因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0. 于是“g(x)>0对任意x∈恒
成立”当且仅当g＝1－c≥0，即0<c≤. ………11分
综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0
对任意x∈恒成立．
所以，若
对任意
恒成立，则
的最大值为
，
的最小值为1.
略
，
, 则（ ）
B. 
C. 
D. 
”是“
”的（ ）
, 则
( )
B．
C．
D．
, 则下列结论正确的是 ( )
是偶函数 B. 
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为（ )
B. 
C．
D．
的定义域为
,值域为
，则
的值不可能是( )
B. 
C. 
D. 
的图象
等于（ ）
和偶函数
满足
，若
，则
（ ）
B. 
C． 
D． 
有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
B. 
C. 
D. 
. 
在
处有定义，则实数
.
在点
处的切线的斜率为 . 
在
内有极小值，则实数
的取值范围是 . 