知识点：3.集合的基本运算

C

【考点】交集及其运算．

【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．

【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，

B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，

则A∩B={x丨1≤y＜3}，

故选：C

知识点：3.复数代数形式的四则运算

B

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．

【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，

则|z|=3，

故选：B．

知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质

D

【考点】平面与平面平行的判定．

【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．

【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；

B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；

C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；

D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．

故选 D．

知识点：7.全称量词与存在量词

A

【考点】全称命题．

【分析】利用参数分离法和函数的单调性，求出命题P为真命题时的等价条件，由全称命题与其否定真假之间的关系，求出实数a的取值范围．

【解答】解：若“∀x∈（2，3），x2+5＞ax恒成立，则a＜（x+）min，x∈（2，3）．

∵f（x）=x+在（2，）上是减函数，（，3）上为增函数，

∴函数f（x）的最小值是f（）=2，

则a＜2，

∵命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，

∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞），

故选：A．

知识点：2.排列与组合

C

【考点】排列、组合及简单计数问题．

【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．

【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，

而A、B可交换位置，所以有2A44=48种摆法，

又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2A33=12种摆法，

故满足条件的摆法有48﹣12=36种．

故选C．

知识点：16函数值的大小比较

D

【考点】定积分；不等关系与不等式．

【分析】利用定积分求解c，判断a，b与c的大小即可．

【解答】解：，，，所以a＞c＞b，

故选：D．

知识点：4.等比数列及其性质

C

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】根据等比数列的性质求出q2的值，从而求出++的值即可．

【解答】解：∵a1=2，a1+a3+a5=14，

∴q4+q2+1=7，q2=2，

∴++=（1++）=•=，

故选：C．

知识点：3.二项式定理

B

【考点】二项式系数的性质．

【分析】在（x﹣）5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．再根据x3的系数等于﹣5，求得r的值，可得该展开式项的系数中最大值．

【解答】解：由于（x﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣a）r•x5﹣2r，

令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系数等于=﹣5，a=1．

则该展开式项的系数中最大值为=10，

故选：B．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

A

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，结合直观图判断棱锥的高及底面相关线段的长，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：

其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，

∴几何体的体积V=××4×4=．

故选：A．

知识点：2.双曲线

C

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，可得a=2，即可求出△BF1F2的面积

【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，

∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|

∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a

又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，

∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，

∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°

∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°

即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，

∴a2+24=7a2，∴a=2，

∴△BF1F2的面积为﹣=﹣=8．

故选：C．

知识点：3.单调性与最大（小）值

B

【考点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．

【分析】由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．

【解答】解：∵函数是R上的单调减函数，

∴

∴

故选B

知识点：13.函数与方程

C

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】做出f（x）的函数图象，判断f（x）=t的解的情况，根据f2（x）+bf（x）+c=0的解得个数判断f（x）的范围，得出x1，x2，x3．

【解答】解：令f（x）=t，做出f（x）的函数图象如下：

由图象可知当t=1时，f（x）=t有三解，

当0＜t＜1或t＞1时，f（x）=t有两解，

当t≤0时，方程f（x）=t无解．

∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的解x1，x2，x3，

∴f（x）=1，

当x＜1时，令=1解得x=0，

当x＞1时，令解得x=2，

当x=1时，显然x=1是f（x）=1的解．

不妨设x1＜x2＜x3，则x1=0，x2=1，x3=2，

∴=5．

故选C．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

1

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】利用数量积的性质即可得出．

【解答】解：∵向量，的夹角为，且丨丨=，丨丨=2，

∴===3．

∴===1，

故答案为1．

知识点：3.等差数列的前n项和

20

【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．

【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，

∴，

解得a1=﹣4，d=3，

∴a9=﹣4+8×3=20．

故答案为：20．

知识点：11.球

13π

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．

【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，

正六棱柱的体积V==≤=，

当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，

可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，

∴外接球的表面积为=13π．

故答案为：13π．

知识点：3.单调性与最大（小）值

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】易知f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；从而依次代入化简即可．

【解答】解：f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；

f1（x）=f（x）=，在[，1]上递增，

故f1（x）min=，

f2（x）min=f（f1（x）min）=f（）=，

f3（x）min=f（f2（x）min）=f（）=，

f4（x）min=f（f3（x）min）=f（）=，

f5（x）min=f（f4（x）min）=f（）=．

故答案为：．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．

【分析】（1）由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①，由△ABC的面积公式可得： =absinC，解得：ab=4，②，②代入①可解得：a+b=4，③，由②③可解得b，a的值．

（2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cosA（sinB﹣sinA）=0，可得：cosA=0或sinB=sinA，当cosA=0时，结合0＜A＜π，可得A为直角，结合已知即可求得a，b的值，当sinB=sinA时，由正弦定理可得a=b，由余弦定理即可得解．

【解答】解：（1）∵c=2，．

∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①

∵△ABC的面积为=absinC=ab，解得：ab=4，②

∴②代入①可得：a2+b2=8，从而（a+b）2=a2+b2+2ab=16，解得：a+b=4，③

∴由②③可解得：b=2，a=2．

（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=sin（A+B）

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA，整理可得：cosA（sinB﹣sinA）=0，

∴可得：cosA=0或sinB=sinA，

∴当cosA=0时，由0＜A＜π，可得A=，又c=2，，可得：b=，a=，

当sinB=sinA时，由正弦定理可得：a=b，又c=2，，由余弦定理可得：4=2a2﹣a2，解得：a=b=2．

知识点：2.用样本估计总体

【考点】离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．

（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．

【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，

P（X=16）=（）2=，

P（X=17）=，

P（X=18）=（）2+2（）2=，

P（X=19）==，

P（X=20）==，

P（X=21）==，

P（X=22）=，

∴X的分布列为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）

==．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

=+=．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．

（Ⅲ）由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

=+=．

买19个所需费用期望：

EX1=200×+×+×+×=4040，

买20个所需费用期望：

EX2=+×+×=4080，

∵EX1＜EX2，

∴买19个更合适．

知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质

【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．

（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．

【解答】（本小题满分14分）

（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…

因AA1=AB，则AD⊥A1B…

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，

且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…

得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，

所以AD⊥BC．…

因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…

（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，

则CD是AC在平面A1BC内的射影

∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…

在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点

∴，且，

∴…

过点A作AE⊥A1C于点E，连DE

由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A

∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…

且直角△A1AC中：

又，

∴，

且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角

∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…

知识点：1.椭圆

【考点】椭圆的应用；其他不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，

由题设条件能够推导出=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，所以，

即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），

因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：，

整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，

所以

因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．

即恒成立．

x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1

=

=．

又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，

即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．

当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．

a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，

因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，

解得a＞或a＜（舍去），即a＞，

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．

（2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．

（3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2﹣x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．

【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x

令f′（x）=0，解得x=1

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．

函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=．

（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）ex﹣2

令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）ex﹣2

于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x

当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．

又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．

（Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．

（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾．

根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．

由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），

则g（x2）=f（2﹣x2），

所以f（x2）＞f（2﹣x2），

从而f（x1）＞f（2﹣x2）．

因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，

又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数，

所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．

知识点：1.几何证明选讲

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．

（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA•AC=AD•OC．

【解答】（1）证明：连结AC，

∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，

∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，

∴∠C=∠ODB，

∵直线PA为圆O的切线，切点为A，

∴∠C=∠BAP，

∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，

∴PA=PD．

（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，

∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，

∴，∴PA•AC=AD•OC．

知识点：2.坐标系与参数方程

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中，即可得出直线l的直角坐标方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，把代入即可得出曲线C的直角坐标方程．

（2）分别求出P、A、B的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可．

【解答】解：（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中得：y=x+3，

∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+3=0．

由ρ=4sinθ﹣2cosθ，得ρ2=4ρsinθ﹣2ρcosθ，

∴x2+y2=4y﹣2x，即x2+y2+2x﹣4y=0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0；

（2）由l：y=x+3，得P（0，3），

由，

解得或，

∴|PA||PB|=•=3．

知识点：3.不等式选讲

【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解出各个阶段上的x的范围，取并集即可；

（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题等价于|a+3|≤2a，解出即可．

【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）＜1就是|x﹣3|﹣|x+2|＜1．

当x＜﹣2时，3﹣x+x+2＜1，得5＜1，不成立；

当﹣2≤x＜3时，3﹣x﹣x﹣2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；

当x≥3时，x﹣3﹣x﹣2＜1，即﹣5＜1，恒成立，所以x≥3．

综上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…

（Ⅱ） 因为f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|≤|（x﹣3）﹣（x+a）|=|a+3|，

所以f（x）的最大值为|a+3|．

对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立等价于|a+3|≤2a．

当a≥﹣3时，a+3≤2a，得a≥3；

当a＜﹣3时，﹣a﹣3≤2a，a≥﹣1，不成立．

综上，所求a的取值范围是[3，+∞）…