（本小题满分15分）已知函数
.
（1）若函数
为偶函数，求实数
的值；
（2）若
，求函数
的单调递增区间；
（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
知识点：3.单调性与最大（小）值
【知识点】函数恒成立问题．B14
【答案解析】（1）a=0；（2）
及
；（3）
解析：（1）解法一：因为函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|
又函数y=f（x）为偶函数，
所以任取x∈R，则f（﹣x）=f（x）恒成立，
即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立．…（3分）
所以|x﹣a|=|x+a|恒成立，
两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2
所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…（5分）
解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，
所以f（﹣1）=f（1），得|1﹣a|=|1+a|，得：a=0
所以f（x）=﹣x2+2|x|，
故有f（﹣x）=f（x），即f（x）为偶函数…（5分）
（2）若
，则
．…（8分）
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及………………10分
(3)不等式
化为
即：
(*)对任意的
恒成立
因为
，所以分如下情况讨论：
①0≤x≤a时，不等式（*）化为﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，
即x2+4x+1﹣2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，
因为函数g（x）=x2+4x+1﹣2a在区间[0，a]上单调递增，
则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得
，
又a＞0所以
…（12分）
②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，
即x2﹣4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，
由①，
，知：函数h（x）=x2﹣4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，
则只需h（1+a）≥0即可，即a2+4a﹣2≥0，得
或
．
因为
所以，由①得
．…（14分）
③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，
即x2+2x﹣3≥0对任意的
x∈（a+1，+∞）恒成立，
因为函数φ（x）=x2+2x﹣3在区间（a+1，+∞）上单调递增，
则只需φ（a+1）≥0即可，
即a2+4a﹣2≥0，得或
，由②得．
综上所述得，a的取值范围是．…（16分）
【思路点拨】（Ⅰ）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（﹣x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（﹣1）=f（1），化简即可，但必须检验．
（Ⅱ）分x≥
，x
，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”． （Ⅲ）先整理f（x﹣1）≥2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．