若函数
为定义在
上的减函数，函数
的图象关于点
对称，
满足不等式
为坐标原点，则当
时，
的取值范围为 。
知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划
【知识点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．B3 F3
【答案解析】
解析：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），
∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．
∴不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（1﹣1﹣2y+y2）=f（y2﹣2y），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，∴x2﹣2x≥y2﹣2y，化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，
即
或
．又∵1≤x≤4，画出可行域．
M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴
•
=x+2y=t．化为
．
由图可知：当直线经过点A（4，﹣2）时，t取得最小值0．
当直线经过点B（4，4）时t取得最大值4+2×4，即12．
综上可得：
•的取值范围是[0，12]．故答案为：[0，12]．
【思路点拨】设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（y2﹣2y），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x2﹣2x≥y2﹣2y，即
或．由于1≤x≤4，可画出可行域．由M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，利用数量积运算可得•
=x+2y=t．进而得出答案．