设函数f（x）=ex﹣ax﹣1，对∀x∈R，f（x）≥0恒成立．
（1）求a的取值集合；
（2）求证：1+
．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；根据条件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；
（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令x=
（k∈N*），即＞ln
=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=ex﹣a，
令f′（x）=0，解得x=lna，
当x＞lna时，f′（x）＞0；当x＜lna时，f′（x）＜0，
因此当x=lna时，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
因为f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，所以f（x）min≥0，
∴f（x）min=a﹣alna﹣1，
所以a﹣alna﹣1≥0，
令g（a）=a﹣alna﹣1，
函数g（a）的导数为g′（a）=﹣lna，
令g′（a）=0，解得a=1．
当a＞1时，g′（a）＜0；当0＜a＜1时，g′（a）＞0，
所以当a=1时，g（a）取得最大值，为0．
所以g（a）=a﹣alna﹣1≤0．
又a﹣alna﹣1≥0，因此a﹣alna﹣1=0，
解得a=1；
故a的取值集合是{a|a=1}．
（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，
当且仅当x=0时，等号成立，
令x=（k∈N*），则＞ln（1+），
即
＞ln
=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），
累加，得1+
+
+…+
＞ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln1，
则有1++
+…+
＞ln（n+1）（n∈N*）．