如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为
，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为
，请说明理由．
知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连接AB1交AB1于点D，则可通过证明BC⊥平面ABB1A1得出得出BC⊥AB；
（2）以B为原点建立坐标系，设
=λ
，求出平面ABE的法向量
，令|cos＜
，＞|=
，根据解的情况判断E点是否存在．
【解答】（1）证明：连接AB1交AB1于点D，
∵AA1=AB，∴AD⊥A1B
又平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，
∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BC．
又AA1∩AD=A，AA1⊂平面A1ABB1，AD⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥平面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，
∴AB⊥BC．
（2）由（1）得AD⊥平面A1BC，
∴∠ACD直线AD与平面AA1=AB所成的角，
即
，又AD=
=
，∴
，BC=
=2．
假设在线段A1C上是否存在一点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为
以点B为原点，以BC、BA，AA1所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示，
则A（0，2，0），B（0，0，0），A1（0，2，2），C（2，0，0），B1（0，0，2）．
∴
=（0，﹣2，0），
=（2，﹣2，﹣2），
=（0，﹣2，2），
=（0，0，2）．
假设A1C上存在点E使得二面角A﹣BE﹣C的大小为
，且
=λ
=（2λ，﹣2λ，﹣2λ），
∴
=
+
=（2λ，﹣2λ，2﹣2λ），
设平面EAB的法向量为
，则
，
，
∴
，令x=1得
=（1，0，
），
由（1）知AB1⊥平面A1BC，∴
=（0，﹣2，2）为平面CEB的一个法向量．
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴|
|=|cos
|=
，解得
∴点E为线段A1C中点时，二面角A﹣BE﹣C的大小为．
