设函数f（x）=k（x﹣1）﹣2lnx（k＞0）．
（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；
（2）设函数g（x）=xe1﹣x（其中e为自然对数的底数），若对任意给定的s∈（0，e），均存在两个不同的ti∈（
）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求实数k的取值范围．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由题意可知：当f（x）=0，则k（x﹣1）﹣2lnx=0，即
（x﹣1）=lnx，若k＞0，当直线
与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，则直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则
，即可求得实数k的值；
（2）g（x）=xe1﹣x，求导知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，求得函数的单调递增区间，g'（x）＜0，求得函数的单调递减区间，求得其值域，对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间
上有两个不等实根，根据函数的单调性求得函数的最小值，h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，求导，利用导数求得其单调区间及最大值，则
，即可求得实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由于f（1）=0，则由题意，f（x）有且只有一个零点x=1，
令f（x）=0，k（x﹣1）﹣2lnx=0，则
（x﹣1）=lnx
若k＞0，当直线
与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，
直线
为曲线y=lnx在x=1处的切线，
则
，即k=2，
综上，实数k的值为2．
（2）由g（x）=xe1﹣x可知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，
令g'（x）≥0，解得：x≤1，
g'（x）＜0，解得：x＞1，
即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
从而g（x）在（0，e）上的值域为（0，1）；
则原题意等价于：对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间
上有两个不等实根，
，
由于f（x）在上不单调，则
，且f（x）在
上单调递减，在
上单调递增，
则函数f（x）的最小值为
，
记h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，则h′（x）=﹣1+
=
，
由h′（x）＞0解得：x＜2，
从而函数h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，最大值为h（2）=0，即
；
另一方面，由
；
综上，实数k的取值范围为
．