如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．
（1）求证：DE∥平面A1MC；
（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为
？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，连接OM，OE，MD，推导出四边形MDEO为平行四边形，从而DE∥MO．由此能证明DE∥平面A1MC．
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，利用向量法能求出存在点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为
，此时PA=1．
【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，
由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，
∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线，
∴
，
，∴
，
∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO．
又∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，
∴DE∥平面A1MC．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，
设PA=a，则D（0，0，0），
，
，
，B（0，1，0），
则
，
，
设平面PBC的法向量为
，
则
解得
．
同理，
，
，
设平面BCA1的法向量为
，
则
解得
．
如图易得所求二面角为锐角，设为θ，
则
，
解得a=1或
（舍），
所以存在点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为
，此时PA=1．
