若直线l与平面垂直,则下列结论正确的是 ( )
A.直线l与平面内所有直线都相交 B.在平面内存在直线m与l平行
C.在平面内存在直线m与l不垂直 D.若直线m与平面平行,则直线l⊥m
知识点:1.集合与逻辑
D
如下图,三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,且长度相等,点E为BC中点,则直线AE与平面PBC所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
知识点:7.空间几何体
A
如上图,三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,且长度都为1,点E为BC上一点,则截面PAE面积的最小值为 ( )
A. B. C. D.
知识点:7.空间几何体
C
设a,b,c表示三条直线,表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是 ( )
A.,若,则 B.,,若,则
C.,若,则 D.,,,若,则
知识点:1.集合与逻辑
C
一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,若把这个几何体放到一个底面半径为的盛若干水的圆柱形容器,没入水中,则水面上升的高度(不溢出)最大为 ( )
A. B.
C. D.
知识点:7.空间几何体
B
如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形,侧棱PA⊥平面ABCD,点E在侧棱PC上,且BE⊥PC,若,则四棱锥P-ABCD的体积为 ( )
A.6 B.9 C.18 D.27
知识点:7.空间几何体
B
如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,且,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为 ( )
A. B.1 C. D.
知识点:7.空间几何体
A
我们知道,正三角形的内切圆和外接圆的圆心重合,且外接圆和内切圆的半径之比为2:1,类比这一结论,若一个三棱锥的所有棱长都相等,则其外接球与内切球的球心重合,则外接球与内切球半径之比为 .
知识点:7.空间几何体
3:1
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,且.M是PC的中点,在DM上有点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)求证:AP∥GH.
知识点:7.空间几何体
(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,而,,∴(3分)∴三棱锥P-ABCD的体积为;(5分)
(2)连接AC交BD于点O,连接MO.∵ABCD为正方形∴O是AC的中点,又M为PC中点,∴OM是△CAP的中位线,∴AP∥OM,而AP平面BMD,平面BMD.(8分)∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG平面BMD=GH∴PA∥GH(10分)
如图,已知三棱柱的所有棱长都是2,且.
(1)求证:点在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上;
(2)求棱柱的体积.
知识点:7.空间几何体
(1)过作⊥平面ABC,垂足为H,连接AH.作HE⊥AB,垂足为E,连接.则,,故AB⊥平面,故.同理,过作HF⊥AC,连接,则.(3分)
∵,∴.∴Rt△Rt△∴HE=HF∴AH是∠BAC的角平分线,即点在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上;(7分)
(2)由(1)可知,,在△AHE中,,∴.(10分)
∴棱柱的体积为(12分)
如图,多面体ABCD—EFG中,底面ABCD为正方形,GD//FC//AE,AE⊥平面ABCD,其正视图、俯视图及相关数据如图:
(1)求证:平面AEFC⊥平面BDG;
(2)求该几何体的体积;
(3)求点C到平面BDG的距离.
知识点:7.空间几何体
(1)连接AC,BD,正方形ABCD中,AC⊥BD,又AE∥GD∥FC,AE⊥平面ABCD,∴GD⊥平面ABCD,又AC平面ABCD,则AC⊥GD,又AC⊥BD,,
∴AC⊥平面BDG,又AC平面AEFC,∴平面AEFC⊥平面BDG;(4分)
(2)原几何体可以划分为两个四棱锥:B-CFGD和B-AEGD,而,(6分),(8分)∴所给几何体的体积为:;(9分)
(3)由条件可知GD⊥平面ABCD,故平面BDG⊥平面ABCD.过C作CH⊥BD于H,则CH⊥平面BDG
则CH的长即为点C到平面BDG的距离.在Rt△BCD中,由面积公式可得,则,即点C到平面BDG的距离为(13分)
如图一简单几何体的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC.
(1)求证:GH//平面ACD;
(2)证明:平面ACD平面ADE;
(3)若AB=2,BC=1,,试求该几何体的体积V.
知识点:7.空间几何体
(1)据已知连结OH,GO,易知GO//BE//CD,即直线GO//平面ACD,同理可证OH//平面ACD,又GOOH=O,故平面ACD//平面GHO,又GH平面GHO,故GH//平面ACD(4分)
(2)证明:∵DC平面ABC,平面ABC,∴,∵AB是圆O的直径∴且,∴平面ADC.∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE//BC.∴平面ADC,又∵平面ADE,∴平面ACD平面ADE.(8分)
(3)所求简单组合体的体积:.∵,,,
∴,.∴,
∴该简单几何体的体积(13分)
边长为2的正方体中,P是棱CC1上任一点,
(1)是否存在满足条件的实数m,使平面面?若存在,求出m的值;否则,请说明理由.
(2)(理)试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数,并求的值.
(文)是否存在实数m,使得三棱锥和四棱锥的体积相等?若存在,求出m的值;否则,请说明理由.
知识点:7.空间几何体
(1)存在满足条件的实数,使平面面,证明如下:连接AC、AC1,设对角线,则H是AC1中点,连接PH,则PH是△的中位线,则PH∥AC,∵AC⊥BD,AC⊥BB1,故AC⊥平面∴PH⊥平面,而PH平面,∴平面面;(5分)
(2)(理)在线段AA1上取一点G,使得A1G=m,连接D1G,BG,
则易证D1,G,B,P四点共面.设点A到平面D1BP的距离为h,则由可得(7分)
在△BGD1中,,,,
则则,
则(10分)而故.设AP与平面D1BP所成的角为,则,故(13分)
(文)由条件易得,(9分).(10分)
由可得可得,故存在实数使得三棱锥和四棱锥的体积相等(13分)
如图,直角梯形ABCD中,,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的.梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,.
(1)求证:平面PCD⊥平面;
(2)侧棱上是否存在点E,使得平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
(3)(理)求二面角的余弦值.
知识点:7.空间几何体
(理)(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.又△ABC的面积等于△ADC面积的,∴.在底面中,因为,,所以,所以.又因为,所以平面.而CD平面PCD,∴平面PCD⊥平面(理4分,文7分)
(2)在上存在中点,使得平面,证明如下:设的中点是,连结BE,EF,FC,则,且.由已知,所以.又,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.(理8分,文14分)
(理)(3)设为中点,连结,则.又因为平面平面,所以平面.过作于,连结,由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设,则,.在中,,所以.所以,.即二面角的余弦值为.(14分)